Resolva os exercícios ímpares do número 13 ao 45 do livro: Cálculo James Stewart volume 2 páginas 917 a 920.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçăo.
u=t e^alpha / t

Passo 1

Temos a função u(t,alpha)=t,e^alpha/t. O conteúdo aqui é derivadas parciais de primeira ordem e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar.

Passo 2

Para calcular partial upartial t, tratamos alpha como constante e aplicamos a regra do produto em u=tcdot e^alpha/t:
partial upartial t=ddt(t),e^alpha/t+t,ddtl(e^alpha/tr)
A derivada de e^alpha/t usa a regra da cadeia: primeiro derivamos o expoente alpha/t em relação a t, obtendo -alpha/t^2), então
ddtl(e^alpha/tr)=e^alpha/tcdotl(-alphat^2r)
Substituindo de volta:
partial upartial t=e^alpha/t+tcdot e^alpha/tcdotl(-alphat^2r)=e^alpha/t-alphate^alpha/t=e^alpha/tl(1-alphatr)

Passo 3

Para partial upartial alpha, tratamos t como constante e diferenciamos u=t,e^alpha/t em relação a alpha. Usando a regra da cadeia em e^alpha/t:
partial upartial alpha=tcdotddalphal(e^alpha/tr)=tcdot e^alpha/tcdotddalphal(alphatr)=t,e^alpha/tcdot1t=e^alpha/t

Resposta

As derivadas parciais são
partial upartial t=e^alpha/tl(1-alphatr) e partial upartial alpha=e^alpha/t

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