Resolva explicitamente a equação diferencial abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver
Note que
e
são funções homogêneas de grau 7 em
. Para equações homogêneas do tipo
com
, a substituição
é indicada, pois reduz a um problema de variáveis separáveis.
Passo 2
Fazendo
, temos
Substituindo
e
na equação original, obteremos uma equação em
e
.
Passo 3
Calcule os termos:
Logo a equação vira
Ao expandir e agrupar os termos em
e
, e dividindo por
, sobra
Passo 4
A equação
pode ser escrita como
Isto é uma equação linear em
(ou separável). Integramos ambos os lados:
Passo 5
Consolidando o logaritmo:
onde
C=e^C1 . Como
u=y/x , temos
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
ou, de forma explícita,