Resolva explicitamente a equação diferencial abaixo:
(x^6 y+y^7) d x+(y^6 x+x^7) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver
l(x^6y + y^7r),dx + l(y^6x + x^7r),dy = 0
Note que M(x,y)=x^6y+y^7 e N(x,y)=y^6x+x^7 são funções homogêneas de grau 7 em (x,y). Para equações homogêneas do tipo M,dx+N,dy=0 com deg(M)=deg(N), a substituição
y = u,x
é indicada, pois reduz a um problema de variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y=u,x, temos
dy = u,dx + x,du
Substituindo y e dy na equação original, obteremos uma equação em u e x.

Passo 3

Calcule os termos:
x^6y + y^7 = x^6(u,x) + (u,x)^7 = x^7(u+u^7),
y^6x + x^7 = (u,x)^6x + x^7 = x^7(u^6+1)
Logo a equação vira
x^7(u+u^7),dx ;+; x^7(u^6+1)l(u,dx + x,dur) = 0
Ao expandir e agrupar os termos em dx e du, e dividindo por x^7(u^6+1)neq0, sobra
2,u,dx + x,du = 0

Passo 4

A equação
2,u,dx + x,du = 0
pode ser escrita como
du + 2ux,dx = 0
Isto é uma equação linear em u (ou separável). Integramos ambos os lados:
integral duu + 2integral dxx = 0 Longrightarrow lnl|ur| + 2,lnl|xr| = C1

Passo 5

Consolidando o logaritmo:
lnl(|u|,|x|^2r)=C1 Longrightarrow |u|,x^2=C,
onde C=e^C1. Como u=y/x, temos
yx,x^2=C Longrightarrow x,y=C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x,y = C,
ou, de forma explícita,
y = Cx

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