Resolva a expressão .

Passo 1

No primeiro passo, a gente tem que resolver a equação l(x^2 - 5x + 5r)^x^2 - 9x + 20 = 1. O conteúdo da matéria aqui é propriedades de potência, e vamos precisar usar os casos em que uma potência é igual a 1.

Passo 2

Para resolver a^b = 1, existem três situações clássicas:
  1. a = 1, pois 1^b = 1 para todo b.
  2. b = 0 e a neq 0, pois a^0 = 1.
  3. a = -1 e b é inteiro par, pois (-1)^par = 1.
Vamos aplicar cada caso ao nosso a = x^2 - 5x + 5 e b = x^2 - 9x + 20.

Passo 3

Caso 1: a = 1.
Resolvemos
x^2 - 5x + 5 = 1
que dá
x^2 - 5x + 4 = 0
Fatorando,
(x - 1)(x - 4) = 0
Assim, x = 1 ou x = 4.

Passo 4

Caso 2: b = 0 com a neq 0.
Resolvemos
x^2 - 9x + 20 = 0
que dá
(x - 4)(x - 5) = 0
Logo, x = 4 ou x = 5.
Precisamos checar a neq 0 nesses pontos:
  • Em x = 4, a = 4^2 - 5cdot4 +5 = 1 neq 0.
  • Em x = 5, a = 5^2 - 5cdot5 +5 = 5 neq 0.
Então ambos valem.

Passo 5

Caso 3: a = -1 e b par.
Resolvemos
x^2 - 5x + 5 = -1
que dá
x^2 - 5x + 6 = 0
Fatorando,
(x - 2)(x - 3) = 0
Logo, x = 2 ou x = 3.
Agora checamos o expoente:
  • Em x = 2, b = 2^2 - 9cdot2 + 20 = 6, que é par inteiro.
  • Em x = 3, b = 3^2 - 9cdot3 + 20 = 2, que também é par inteiro.
Ambos atendem.

Passo 6

Reunindo todas as soluções dos três casos e eliminando repetições, temos
x = 1,;2,;3,;4,;5.

Resposta

x = 1, 2, 3, 4, 5

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