Qual o valor de
, se
? (Dica: Eleve ao cubo e depois procure uma equação do segundo grau.)
Passo 1
Vamos entender o problema: precisamos encontrar o valor de $ x^{2} $ sabendo que $ \sqrt[3]{x + 9} - \sqrt[3]{x - 9} = 3 $. Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e álgebra, seguindo a dica de elevar a equação ao cubo e depois resolver uma equação de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos elevar ambos os lados da equação ao cubo para eliminar as raízes cúbicas:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo usando a identidade do cubo da diferença:
Aplicando isso:
Como $ \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3} = a $, simplificamos:
Passo 4
Simplificando os termos $ x + 9 $ e $ - (x - 9) $:
Isso reduz para:
Sabemos que $ \sqrt[3]{x + 9} - \sqrt[3]{x - 9} = 3 $, então substituímos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -9:
Passo 6
Agora, vamos eliminar a raiz cúbica elevando ambos os lados ao cubo novamente:
Isso simplifica para:
Passo 7
Finalmente, somando 81 em ambos os lados para isolar $ x^{2} $:
Resposta
O valor de $ x^{2} $ é 80.