Qual o valor de x^2, se raiz[3]x+9-raiz[3]x-9=3 ? (Dica: Eleve ao cubo e depois procure uma equação do segundo grau.)

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos encontrar o valor de $ x^{2} $ sabendo que $ \sqrt[3]{x + 9} - \sqrt[3]{x - 9} = 3 $. Para resolver isso, vamos usar propriedades de potências e álgebra, seguindo a dica de elevar a equação ao cubo e depois resolver uma equação de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos elevar ambos os lados da equação ao cubo para eliminar as raízes cúbicas:
( raiz[3]x + 9 - raiz[3]x - 9 )^3 = 3^3
Isso simplifica para:
( raiz[3]x + 9 - raiz[3]x - 9 )^3 = 27

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo usando a identidade do cubo da diferença:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Aplicando isso:
( raiz[3]x + 9 )^3 - 3 ( raiz[3]x + 9 )^2 ( raiz[3]x - 9 ) + 3 ( raiz[3]x + 9 ) ( raiz[3]x - 9 )^2 - ( raiz[3]x - 9 )^3 = 27
Como $ \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3} = a $, simplificamos:
( raiz[3]a )^3 = a

Passo 4

Simplificando os termos $ x + 9 $ e $ - (x - 9) $:
x + 9
Isso reduz para:
- (x - 9)
Sabemos que $ \sqrt[3]{x + 9} - \sqrt[3]{x - 9} = 3 $, então substituímos:
x + 9 - x + 9 - 3 raiz[3](x + 9)^2(x - 9) + 3 raiz[3](x + 9)(x - 9)^2 = 27

Passo 5

Simplificando a expressão:
18 - 9 raiz[3]x^2 - 81 = 27
Subtraindo 18 de ambos os lados:
-9 raiz[3]x^2 - 81 = 9
Dividindo ambos os lados por -9:
raiz[3]x^2 - 81 = -1

Passo 6

Agora, vamos eliminar a raiz cúbica elevando ambos os lados ao cubo novamente:
( raiz[3]x^2 - 81 )^3 = (-1)^3
Isso simplifica para:
x^2 - 81 = -1

Passo 7

Finalmente, somando 81 em ambos os lados para isolar $ x^{2} $:
x^2

Resposta

O valor de $ x^{2} $ é 80.

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