Resolva as expressões abaixo e escreva a resposta na forma polar e na forma retangular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa expressão:
. O que a gente vai usar aqui são os números complexos e as operações com eles. Para resolver isso, precisamos saber como multiplicar números complexos em formas diferentes (polar e retangular) e como converter de uma forma para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte significa. O número
está na forma polar, onde 30 é o módulo (ou a magnitude) e 53 é o argumento (ou o ângulo) em graus. Já o número
está na forma retangular, onde 2 é a parte real e 9 é a parte imaginária.
Passo 3
Para facilitar a multiplicação, vamos converter o número polar
para a forma retangular. Para isso, usamos as fórmulas:
Onde
é o módulo e
é o ângulo.
Passo 4
Aplicando as fórmulas:
Então,
em retangular fica aproximadamente
.
Passo 5
Agora, temos para multiplicar dois números complexos na forma retangular:
Para multiplicar, usamos a distributiva:
Passo 6
Calculando cada termo:
Passo 7
Juntando todos os termos:
Agora, somamos as partes reais e as imaginárias separadamente:
Passo 8
Então, a forma retangular da resposta é aproximadamente
.
Passo 9
Agora, vamos converter essa forma retangular para a forma polar. Para isso, usamos as fórmulas do módulo e do ângulo:
Onde
e
.
Passo 10
Calculando o módulo:
Calculando o ângulo:
Como o número está no segundo quadrante (parte real negativa e parte imaginária positiva), adicionamos 180° para obter o ângulo correto:
Resposta
A resposta é:
- Forma retangular:
- Forma polar: