Resolva:
Se f(x)=3 x+|x|7 x-5|x|, calcule lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites de uma função que envolve valor absoluto quando x tende a +infty e -infty. O conteúdo principal aqui é limites no infinito e manipulação de |x|, que exige separar os casos x>0 e x<0.

Passo 2

Para x>0, temos |x|=x e, portanto, f(x). Substituindo na definição de f(x)=3x+|x|7x-5|x|=3x+x7x-5x=4x2x e simplificando, obtemos:
x
Como xto+infty é positivo para x, podemos dividir numerador e denominador por f(x)=2 sem mudar o sinal, ficando . Logo,

Passo 3

para xto-infty, temos x<0 e, portanto, |x|=-x. Fazendo a mesma substituição, fica:
f(x)=3x+|x|7x-5|x|=3x - x7x - 5(-x)=2x7x+5x=2x12x
Aqui x é negativo, mas ao dividir numerador e denominador por x (que não é zero) chegamos a f(x)=tfrac212=tfrac16.

Resposta

limx+inftyf(x)=2 e limx-inftyf(x)=tfrac16.

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