Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=l0 ; x in[-1,0) x^2 ; x in[0,1)

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Fourier periódica de período 2 da função definida por
f(x)=0,&xin[-1,0),x^2,&xin[0,1)
O conteúdo aqui é série de Fourier em [-L,L] com L=1. Vamos usar as fórmulas para a0, an, bn.

Passo 2

Em uma série de Fourier de período 2 (isto é, L=1) escrevemos
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)
onde
a0=integral-1^1f(x),dx, an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Calculamos primeiro a0:
a0=integral-1^00,dx+integral0^1x^2,dx=0+l[tfracx^33r]0^1=13

Passo 4

Agora an:
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx=integral0^1x^2cos(npi x),dx
Fazendo duas integrações por partes chega-se a
integral0^1x^2cos(npi x),dx=2(-1)^nn^2pi^2,
logo
an=2(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Por fim bn:
bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx=integral0^1x^2sin(npi x),dx
Aplicando duas vezes integração por partes obtemos
bn=-(-1)^nnpi+2((-1)^n-1)n^3pi^3

Resposta

A série de Fourier periódica (período 2) da função é
f(x)=16+sumn=1^infty2(-1)^nn^2pi^2,cos(npi x)+sumn=1^inftyl(-(-1)^nnpi+2((-1)^n-1)n^3pi^3r),sin(npi x)

Exercícios relacionados