Resolva por fatores integrantes
x y^{\prime}+(2 x-3) y=4 x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
x\,y^{\prime}+(2x-3)\,y=4x^{4}.
Informações relevantes que o problema fornece:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve multiplicação por x, portanto é preciso observar que \,x\neq0 ao dividir por x.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) válida no intervalo onde a operação é permitida (isto é, para x\neq0).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a equação na forma padrão para tratar com fatores integrantes (ou seja, deixar o coeficiente de y^{\prime} igual a 1). Como x\neq0, dividimos toda a equação por x:
y^{\prime}+\left(2-\frac{3}{x}\right)y=4x^{3}.
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão y^{\prime}+P(x)y=Q(x):
P(x)=2-\frac{3}{x},\qquad Q(x)=4x^{3}.

Passo 3

Explicação do método do fator integrante (aula rápida e concreta):
  • Para uma equação linear de primeira ordem escrita como \,y^{\prime}+P(x)y=Q(x), procura-se uma função \mu(x) chamada fator integrante tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne exatamente a derivada do produto \mu(x)y.
  • Isso funciona porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y^{\prime}+\mu' y.
  • Queremos \mu'=\mu P, ou seja, \dfrac{\mu'}{\mu}=P. Integrando, obtemos
\ln|\mu|=\int P(x)\,dx + \text{const},
então podemos escolher
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • Depois multiplicamos a equação por \mu, obtendo \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu Q, e integramos ambos os lados para achar \mu y, e finalmente y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x) usando P(x)=2-\dfrac{3}{x}:
\int P(x)\,dx=\int\left(2-\frac{3}{x}\right)dx=2x-3\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(2x-3\ln|x|\big)=e^{2x}\,e^{-3\ln|x|}.
Usando e^{-3\ln|x|}=|x|^{-3} e lembrando que trabalhamos em cada intervalo onde x tem sinal fixo, podemos tomar
\mu(x)=e^{2x}x^{-3}
(esta expressão representa a mesma família de fatores integrantes em cada ramo x>0 ou x<0; a solução final será válida para x\neq0).

Passo 5

Multiplicar a equação padronizada por \mu(x). A equação padronizada era
y^{\prime}+\left(2-\frac{3}{x}\right)y=4x^{3},
multiplicando por \mu=e^{2x}x^{-3} obtemos, pelo motivo do passo anterior, que o lado esquerdo é a derivada de \mu y:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\cdot 4x^{3}.
Calcule o lado direito explicitamente:
\mu\cdot 4x^{3}=e^{2x}x^{-3}\cdot 4x^{3}=4e^{2x}.
Portanto temos a equação simples
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}x^{-3}y\big)=4e^{2x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{2x}x^{-3}y=\int 4e^{2x}\,dx.
Calcule a integral no lado direito: \displaystyle \int 4e^{2x}\,dx = 4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+C=2e^{2x}+C, onde C é a constante de integração. Assim
e^{2x}x^{-3}y=2e^{2x}+C.
Agora isole y:
y=\frac{2e^{2x}+C}{e^{2x}x^{-3}}=(2e^{2x}+C)\,x^{3}e^{-2x}.
Simplificando,
y=2x^{3}+C\,x^{3}e^{-2x}.
É comum reescrever a constante multiplicativa como C arbitrário, então a solução geral fica
y(x)=2x^{3}+C\,x^{3}e^{-2x},\qquad x\neq0.

Passo 7

Comentários finais e dicas práticas para a prova:
  • Passos que normalmente aparecem na prova: (i) dividir por x para padronizar; (ii) calcular P(x); (iii) achar \mu=\exp(\int P); (iv) multiplicar, integrar e isolar y.
  • Observe como o termo x^{3} do lado direito cancelou com x^{-3} do fator integrante, deixando uma integral simples — sempre fique atento a esse tipo de cancelamento que simplifica muito.
  • Lembre-se de anotar o domínio (aqui x\neq0). Em provas, vale mencionar que a solução é válida em intervalos onde x não muda de sinal.

Resposta

y(x)=2x^{3}+C\,x^{3}e^{-2x} (para x\neq0, com C constante real)

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