Resolva por fatores integrantes
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes que o problema fornece:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação envolve multiplicação por
, portanto é preciso observar que ao dividir por . - Objetivo: encontrar a solução geral
válida no intervalo onde a operação é permitida (isto é, para ).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a equação na forma padrão para tratar com fatores integrantes (ou seja, deixar o coeficiente de
igual a 1). Como
, dividimos toda a equação por
:
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão
:
Passo 3
Explicação do método do fator integrante (aula rápida e concreta):
- Para uma equação linear de primeira ordem escrita como
, procura-se uma função chamada fator integrante tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne exatamente a derivada do produto . - Isso funciona porque
- Queremos
, ou seja, . Integrando, obtemos
então podemos escolher
- Depois multiplicamos a equação por
, obtendo , e integramos ambos os lados para achar , e finalmente .
Passo 4
Calcular o fator integrante
usando
:
Portanto
Usando
e lembrando que trabalhamos em cada intervalo onde
tem sinal fixo, podemos tomar
(esta expressão representa a mesma família de fatores integrantes em cada ramo
ou
; a solução final será válida para
).
Passo 5
Multiplicar a equação padronizada por
. A equação padronizada era
multiplicando por
obtemos, pelo motivo do passo anterior, que o lado esquerdo é a derivada de
:
Calcule o lado direito explicitamente:
Portanto temos a equação simples
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Calcule a integral no lado direito:
, onde
é a constante de integração. Assim
Agora isole
:
Simplificando,
É comum reescrever a constante multiplicativa como
arbitrário, então a solução geral fica
Passo 7
Comentários finais e dicas práticas para a prova:
- Passos que normalmente aparecem na prova: (i) dividir por
para padronizar; (ii) calcular ; (iii) achar ; (iv) multiplicar, integrar e isolar . - Observe como o termo
do lado direito cancelou com do fator integrante, deixando uma integral simples — sempre fique atento a esse tipo de cancelamento que simplifica muito. - Lembre-se de anotar o domínio (aqui
). Em provas, vale mencionar que a solução é válida em intervalos onde não muda de sinal.