Resolva fazendo a substituição v=y^prime :
(c) (1+x^2) y^prime prime+2 x y^prime=2 x^-3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
(1+x^2),y''+2x,y'=2x^-3
e pede para usar a substituição v=y'. O conteúdo aqui é transformar em uma equação de primeira ordem para v, resolver por fator integrante e depois integrar para obter y.

Passo 2

Fazendo v=y' temos y''=v'. Substituindo na EDO,
(1+x^2)v' + 2x,v = 2x^-3
Dividindo por 1+x^2 fica na forma padrão
v' + 2x1+x^2,v = 2x^-31+x^2,
que é uma EDO linear de primeira ordem em v.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral 2x1+x^2,dxr) =expl(ln(1+x^2)r)=1+x^2
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
ddxl[(1+x^2),vr] = (1+x^2)2x^-31+x^2 =2x^-3
Integrando ambos os lados,
(1+x^2),v = integral 2x^-3,dx = -x^-2 + C1

Passo 4

Isolando v,
v = y' = -x^-2+C11+x^2 = -x^-21+x^2 + C11+x^2
Agora integramos para obter y:
y = integral v,dx + C2 = integral!l(-x^-21+x^2r)dx + C1integraldx1+x^2 + C2
Na primeira integral usamos frações parciais:
-x^-21+x^2 = -l(1x^2 - 11+x^2r) = -1x^2 + 11+x^2
Então
integral!l(-x^-21+x^2r)dx = integrall(-1x^2r)dx + integral11+x^2dx = 1x + arctan x
E
integraldx1+x^2=arctan x.

Passo 5

Somando tudo,
y = l(1x + arctan xr) + C1,arctan x + C2 = 1x + (1+C1),arctan x + C2
Como arctan x já aparece na parte homogênea, podemos redefinir a constante C3=1+C1 e C4=C2. Além disso, o termo arctan x da parte particular pode ser absorvido em C3. Logo, uma solução particular é yp=1/x e a solução geral fica

Resposta

y(x)=1x + C1,arctan x + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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