Resolva fazendo a substituição
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para usar a substituição
. O conteúdo aqui é transformar em uma equação de primeira ordem para
, resolver por fator integrante e depois integrar para obter
.
Passo 2
Fazendo
temos
. Substituindo na EDO,
Dividindo por
fica na forma padrão
que é uma EDO linear de primeira ordem em
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando ambos os lados,
Passo 4
Isolando
,
Agora integramos para obter
:
Na primeira integral usamos frações parciais:
Então
E
.
Passo 5
Somando tudo,
Como
já aparece na parte homogênea, podemos redefinir a constante
e
. Além disso, o termo
da parte particular pode ser absorvido em
. Logo, uma solução particular é
e a solução geral fica
Resposta
com
constantes arbitrárias.