resolva o problema de valor iniciado dado.
20. y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 ; y(1)=1, y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' - 4y' + 4y = 0, y(1)=1, y'(1)=1
O conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral pela equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à ODE:
r^2 - 4r + 4 = 0
Esse polinômio tem raiz dupla r=2. Logo, a solução geral é da forma
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^2x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicando a condição y(1)=1, obtemos
l(C1 + C2cdot1r)e^2cdot1 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = e^-2

Passo 4

Para usar y'(1)=1, primeiro calculamos y'(x). Derivando
y(x) = (C1 + C2 x)e^2x
vem
y'(x) = l[C2 + 2(C1 + C2 x)r]e^2x = l[2C1 + C2(2x+1)r]e^2x
Então em x=1:
l[2C1 + 3C2r]e^2cdot1 = 1 Longrightarrow 2C1 + 3C2 = e^-2

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = e^-2, 2C1 +3C2 = e^-2,
multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
2C1 +2C2 = 2e^-2 Longrightarrow (2C1+3C2)-(2C1+2C2)=e^-2-2e^-2
Longrightarrow C2 = -e^-2, C1 = e^-2-C2 = 2e^-2

Resposta

y(x) = l(2e^-2 - e^-2xr)e^2x = (2 - x),e^2(x-1)

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