resolva o problema de valor iniciado dado.
20.
20.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral pela equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à ODE:
Esse polinômio tem raiz dupla
. Logo, a solução geral é da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Aplicando a condição
, obtemos
Passo 4
Para usar
, primeiro calculamos
. Derivando
vem
Então em
:
Passo 5
Resolvendo o sistema
multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda: