Sejam f(x)=12[a^x+a^-x] e g(x)=12[a^x-a^-x], a>0, a neq 1. Verifique que: f(x+y)=f(x) f(y)+g(x) g(y)

Passo 1

O enunciado apresenta as funções f e g definidas por
f(x)=12l[a^x+a^-xr],
g(x)=12l[a^x-a^-xr],
com base de potência positiva e distinta de 1. O objetivo é verificar a identidade
f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
Para isso vamos usar propriedades de potências e expandir produtos.

Passo 2

Pela definição de f, temos:
f(x+y)=12l[a^x+y+a^-(x+y)r]
Usando as propriedades de potências a^x+y=a^xcdot a^y e a^-(x+y)=a^-xcdot a^-y, reescrevemos:
f(x+y)=12l[a^x a^y + a^-xa^-yr]

Passo 3

Agora vamos calcular f(x)f(y) e g(x)g(y) separadamente. Primeiro,
f(x)f(y)=l(12[a^x+a^-x]r)l(12[a^y+a^-y]r) =14l[a^x a^y + a^x a^-y + a^-xa^y + a^-xa^-yr]
Em seguida,
g(x)g(y)=l(12[a^x - a^-x]r)l(12[a^y - a^-y]r) =14l[a^x a^y - a^x a^-y - a^-xa^y + a^-xa^-yr]

Passo 4

Somando as duas expressões temos
f(x)f(y)+g(x)g(y) =14l((a^x a^y + a^x a^-y + a^-xa^y + a^-xa^-y) + (a^x a^y - a^x a^-y - a^-xa^y + a^-xa^-y)r)
Ao combinar termos semelhantes, os de sinal oposto se cancelam, sobrando
14l(2a^x a^y + 2a^-xa^-yr) =12l[a^x a^y + a^-xa^-yr]

Passo 5

Essa última expressão coincide exatamente com a forma que obtivemos para f(x+y). Logo,
f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),
o que comprova a identidade proposta.

Resposta

A identidade está verificada: f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y).

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