Seja
f(x)=x^5 / 3-5 x^2 / 3
Determine:
Intervalos de Crescimento ou Decrescimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro passo é encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
A função é:
f(x)
Para derivar, usamos a regra do poder, que diz que se $ f(x) = x^n $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.

Passo 3

Aplicando a regra do poder em cada termo:
f'(x) = 53 x^5/3 - 1 - 5 cdot 23 x^2/3 - 1
Simplificando os expoentes:
f'(x) = 53 x^2/3 - 103 x^-1/3

Passo 4

Para facilitar a análise, vamos escrever a derivada de outra forma:
f'(x) = 53 x^2/3 - 103 cdot 1x^1/3
O próximo passo é encontrar onde $ f’(x) = 0 $, pois esses pontos podem indicar mudanças no comportamento da função (de crescente para decrescente ou vice-versa).

Passo 5

Igualando a derivada a zero:
53 x^2/3 - 103 x^-1/3 = 0
Multiplicando ambos os lados por $ 3x^{1/3} $ para eliminar o denominador:
3x^1/3
Simplificando os expoentes:
5x^2/3 cdot x^1/3 - 10 = 0
Resolvendo para $ x $:
5x^(2/3 + 1/3) - 10 = 0 Rightarrow 5x - 10 = 0

Passo 6

Agora sabemos que a derivada é zero em $ x = 2 $. Para saber se a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esse ponto crítico: $ x < 2 $ e $ x > 2 $.

Passo 7

Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para $ x < 2 $, por exemplo, $ x = 1 $:
x < 2
  • Para $ x > 2 $, por exemplo, $ x = 3 $:
x = 1
Calculando:
f'(1) = 53(1)^2/3 - 103(1)^-1/3 = 53 - 103 = -53 < 0
Então:
x > 2

Passo 8

Com base nos testes:
  • Quando $ x < 2 $, $ f’(x) < 0 $, então a função está decrescendo.
  • Quando $ x > 2 $, $ f’(x) > 0 $, então a função está crescendo.

Resposta

A função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ está decrescendo no intervalo $ (-\infty, 2) $ e crescendo no intervalo $ (2, +\infty) $.

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