Seja
Determine:
Intervalos de Crescimento ou Decrescimento.
Intervalos de Crescimento ou Decrescimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os intervalos onde a função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro passo é encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo em determinados intervalos.
A função é:
Para derivar, usamos a regra do poder, que diz que se $ f(x) = x^n $, então $ f’(x) = n \cdot x^{n-1} $.
Passo 3
Aplicando a regra do poder em cada termo:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Para facilitar a análise, vamos escrever a derivada de outra forma:
O próximo passo é encontrar onde $ f’(x) = 0 $, pois esses pontos podem indicar mudanças no comportamento da função (de crescente para decrescente ou vice-versa).
Passo 5
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por $ 3x^{1/3} $ para eliminar o denominador:
Simplificando os expoentes:
Resolvendo para $ x $:
Passo 6
Agora sabemos que a derivada é zero em $ x = 2 $. Para saber se a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por esse ponto crítico: $ x < 2 $ e $ x > 2 $.
Passo 7
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
- Para $ x < 2 $, por exemplo, $ x = 1 $:
- Para $ x > 2 $, por exemplo, $ x = 3 $:
Calculando:
Então:
Passo 8
Com base nos testes:
- Quando $ x < 2 $, $ f’(x) < 0 $, então a função está decrescendo.
- Quando $ x > 2 $, $ f’(x) > 0 $, então a função está crescendo.
Resposta
A função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ está decrescendo no intervalo $ (-\infty, 2) $ e crescendo no intervalo $ (2, +\infty) $.