Resolva:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a solução geral da equação diferencial dada. As informações que temos são:
  • A equação diferencial é \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}.
  • A expressão envolve divisões por x e por y; portanto x\neq0 e y\neq0 em qualquer ponto onde a equação esteja bem definida.
  • O objetivo é determinar a família de curvas y(x) que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante de integração).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do lado direito para ver uma estrutura que facilite a resolução. Podemos separar a fração:
\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.
Então a equação fica
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.

Passo 3

Uma técnica útil quando a razão entre y e x aparece é fazer a substituição \displaystyle v=\frac{y}{x}. Aqui:
  • v é a nova função de x definida por v(x)=y(x)/x.
  • Reescrevendo y temos y=vx.
Agora derivamos y=vx em relação a x (regra do produto):
\frac{d y}{d x}=v + x\frac{d v}{d x}.
Expliquei cada termo: v aparece porque derivada de x é 1 e x\frac{d v}{d x} vem da derivada de v\cdot x.

Passo 4

Substituímos \frac{d y}{d x} e também \frac{x}{y}+\frac{y}{x} em termos de v. Note que
\frac{x}{y}=\frac{x}{v x}=\frac{1}{v},\qquad \frac{y}{x}=v.
Portanto a equação \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} torna-se
v + x\frac{d v}{d x}=\frac{1}{v}+v.
Podemos cancelar v dos dois lados (isso é válido porque y\neq0 implica v\neq0):
x\frac{d v}{d x}=\frac{1}{v}.

Passo 5

A última equação é separável em v e x. Reescrevendo:
v\,d v=\frac{d x}{x}.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é \int v\,dv = \tfrac{1}{2}v^{2} e a do direito é \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C. Assim:
\frac{1}{2}v^{2}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por 2,
v^{2}=2\ln|x|+C_{1},
com C_{1}=2C (uma constante arbitrária qualquer).

Passo 6

Voltando à variável original usando v=\dfrac{y}{x}, obtemos
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln|x|+C_{1}.
Multiplicando por x^{2},
y^{2}=x^{2}\bigl(2\ln|x|+C_{1}\bigr).
Esta é a forma implícita da família de soluções. Podemos escrever de forma explícita:
y=\pm x\sqrt{\,2\ln|x|+C_{1}\,}.
Lembrete sobre domínio: é necessário x\neq0 e o radicando 2\ln|x|+C_{1} deve ser não negativo para a forma explícita real.

Passo 7

Verificação rápida (consistência): derivando implicitamente y^{2}=x^{2}(2\ln|x|+C_{1}) obtém-se, após simplificações, \dfrac{d y}{d x}=(x^{2}+y^{2})/(x y), confirmando que a solução encontrada está correta.

Resposta

y^{2}=x^{2}\bigl(2\ln|x|+C\bigr)
y=\pm x\sqrt{\,2\ln|x|+C\,}

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