Resolva:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a solução geral da equação diferencial dada. As informações que temos são:
- A equação diferencial é
- A expressão envolve divisões por
e por ; portanto e em qualquer ponto onde a equação esteja bem definida. - O objetivo é determinar a família de curvas
que satisfazem essa igualdade (solução geral, com constante de integração).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do lado direito para ver uma estrutura que facilite a resolução. Podemos separar a fração:
Então a equação fica
Passo 3
Uma técnica útil quando a razão entre
e
aparece é fazer a substituição
. Aqui:
-
é a nova função de definida por . - Reescrevendo
temos .
Agora derivamos
em relação a
(regra do produto):
Expliquei cada termo:
aparece porque derivada de
é
e
vem da derivada de
.
Passo 4
Substituímos
e também
em termos de
. Note que
Portanto a equação
torna-se
Podemos cancelar
dos dois lados (isso é válido porque
implica
):
Passo 5
A última equação é separável em
e
. Reescrevendo:
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
. Assim:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
,
com
(uma constante arbitrária qualquer).
Passo 6
Voltando à variável original usando
, obtemos
Multiplicando por
,
Esta é a forma implícita da família de soluções. Podemos escrever de forma explícita:
Lembrete sobre domínio: é necessário
e o radicando
deve ser não negativo para a forma explícita real.
Passo 7
Verificação rápida (consistência): derivando implicitamente
obtém-se, após simplificações,
, confirmando que a solução encontrada está correta.