Resolva:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}
e pede encontrar a solução geral y(x). Observações iniciais extraídas do enunciado:
  • A equação está definida apenas para x\neq0 (porque há divisão por x).
  • A incógnita é a função y(x) e queremos expressá-la em termos de x e de uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão à direita para ver um padrão útil. Dividindo o numerador por x,
\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}.
Perceba que a função à direita depende de x e de \dfrac{y}{x}. Sempre que a equação aparece na forma "algo que depende de y/x", uma substituição útil é definir uma nova função que torne a equação mais simples. Então vamos usar a substituição
y=xv(x),
onde v(x) é uma função nova (às vezes escrevemos v em vez de v(x) para simplificar a notação). Vou explicar por quê: se y=xv, então \dfrac{y}{x}=v e a parte complicada some.

Passo 3

Calcule a derivada de y em termos de v. Usando a regra do produto,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\bigl(xv(x)\bigr)=v+x\frac{d v}{d x}.
Agora substituímos \dfrac{d y}{d x} e \dfrac{y}{x} na equação original:
v+x\frac{d v}{d x}=1+v.

Passo 4

Simplifique a equação cancelando os v dos dois lados:
x\frac{d v}{d x}=1.
Agora a equação está muito mais simples: é uma equação separável para v, ou seja, podemos escrever
\frac{d v}{d x}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. A integral de \dfrac{d v}{d x} é v, e a integral de \dfrac{1}{x} é \ln|x| (lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x| porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq0). Assim
v=\ln|x|+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original y usando y=xv:
y=x\bigl(\ln|x|+C\bigr)=x\ln|x|+Cx.
Aqui C continua sendo uma constante arbitrária real (pode ser renomeada, se preferir).

Passo 7

Conferência rápida: derivando a solução obtida,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\bigl(x\ln|x|+Cx\bigr)=\ln|x|+1+C.
E calculando o lado direito da equação original com essa y,
\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\ln|x|+C.
As duas expressões coincidem, então a solução está correta (para x\neq0).

Resposta

y=x\ln|x|+Cx

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