Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
. Observações iniciais extraídas do enunciado:
- A equação está definida apenas para
(porque há divisão por ). - A incógnita é a função
e queremos expressá-la em termos de e de uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão à direita para ver um padrão útil. Dividindo o numerador por
,
Perceba que a função à direita depende de
e de
. Sempre que a equação aparece na forma "algo que depende de
", uma substituição útil é definir uma nova função que torne a equação mais simples. Então vamos usar a substituição
onde
é uma função nova (às vezes escrevemos
em vez de
para simplificar a notação). Vou explicar por quê: se
, então
e a parte complicada some.
Passo 3
Calcule a derivada de
em termos de
. Usando a regra do produto,
Agora substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Simplifique a equação cancelando os
dos dois lados:
Agora a equação está muito mais simples: é uma equação separável para
, ou seja, podemos escrever
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. A integral de
é
, e a integral de
é
(lembrando que a primitiva de
é
porque a derivada de
é
para
). Assim
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
usando
:
Aqui
continua sendo uma constante arbitrária real (pode ser renomeada, se preferir).
Passo 7
Conferência rápida: derivando a solução obtida,
E calculando o lado direito da equação original com essa
,
As duas expressões coincidem, então a solução está correta (para
).