Modelo geométrico (família de curvas). Curvas definidas por
. Mostre que elas são soluções de uma EDO do tipo
e identifique
.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde
é um parâmetro constante (uma constante diferente para cada curva da família). Pede-se para:
- mostrar que as curvas dessa família são soluções de uma equação diferencial ordinária do tipo
;\n2) identificar explicitamente a função .
Informações relevantes: a curva é definida implicitamente por, e é constante ao longo de cada curva.
Passo 2
Primeiro passo técnico: vamos diferenciar implicitamente a equação dada em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja,
) e que
é constante. Regras que usamos:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia: derivada de em relação a é vezes , que é ). - Derivada de
em relação a é (pois é constante).
Aplicando isso, obtemos a equação derivada:
Passo 3
Agora lembramos da equação original para eliminar
. Da equação inicial temos:
pois basta isolar
em
. Essa expressão será substituída na equação obtida pela diferenciação.
Passo 4
Substituímos
(obtido no Passo 3) na igualdade do Passo 2:
Para manipular essa igualdade de forma mais simples, multiplico ambos os lados por
:
Passo 5
Isolamos o termo com
. Subtraindo
dos dois lados:
ou seja
Agora resolvemos para
:
Passo 6
Observação importante: a expressão obtida para
depende apenas da razão
. Para ver isso de forma explícita, definimos a nova variável adimensional
Aqui
representa o quociente entre
e
; em termos de
podemos reescrever potências:
.
Passo 7
Substituímos
e
na expressão de
do Passo 5:
Cancelando
chegamos a
Passo 8
Como definimos
, a última igualdade mostra que
é uma função apenas de
. Portanto a equação diferencial tem o formato pedido:
onde
é a função que encontramos no passo anterior.