Modelo geométrico (família de curvas). Curvas definidas por x^{2}+y^{2}=C x. Mostre que elas são soluções de uma EDO do tipo y^{\prime}=g\left(\frac{y}{x}\right) e identifique g.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
x^{2}+y^{2}=C x,
onde \,C é um parâmetro constante (uma constante diferente para cada curva da família). Pede-se para:
  1. mostrar que as curvas dessa família são soluções de uma equação diferencial ordinária do tipo \;y' = g\!\left(\frac{y}{x}\right);\n2) identificar explicitamente a função g.
    Informações relevantes: a curva é definida implicitamente por \;x^{2}+y^{2}=C x, e C é constante ao longo de cada curva.

Passo 2

Primeiro passo técnico: vamos diferenciar implicitamente a equação dada em relação a x, lembrando que y é função de x (ou seja, y=y(x)) e que C é constante. Regras que usamos:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de y^{2} é 2y\,y' (regra da cadeia: derivada de y^{2} em relação a x é 2y vezes dy/dx, que é y').
  • Derivada de C x em relação a x é C (pois C é constante).
    Aplicando isso, obtemos a equação derivada:
2x + 2y\,y' = C.

Passo 3

Agora lembramos da equação original para eliminar C. Da equação inicial temos:
C = \frac{x^{2}+y^{2}}{x},
pois basta isolar C em x^{2}+y^{2}=C x. Essa expressão será substituída na equação obtida pela diferenciação.

Passo 4

Substituímos C (obtido no Passo 3) na igualdade do Passo 2:
2x + 2y\,y' = \frac{x^{2}+y^{2}}{x}.
Para manipular essa igualdade de forma mais simples, multiplico ambos os lados por x:
2x^{2} + 2x y\,y' = x^{2} + y^{2}.

Passo 5

Isolamos o termo com y'. Subtraindo x^{2} dos dois lados:
2x^{2} + 2x y\,y' - x^{2} = y^{2},
ou seja
2x y\,y' = y^{2} - x^{2}.
Agora resolvemos para y':
y' = \frac{y^{2}-x^{2}}{2x y}.

Passo 6

Observação importante: a expressão obtida para y' depende apenas da razão y/x. Para ver isso de forma explícita, definimos a nova variável adimensional
v := \frac{y}{x}.
Aqui v representa o quociente entre y e x; em termos de v podemos reescrever potências: y^{2}=x^{2}v^{2}.

Passo 7

Substituímos y^{2}=x^{2}v^{2} e y = x v na expressão de y' do Passo 5:
y' = \frac{x^{2}v^{2}-x^{2}}{2x\cdot x v} = \frac{x^{2}(v^{2}-1)}{2x^{2} v}.
Cancelando x^{2} chegamos a
y' = \frac{v^{2}-1}{2v}.

Passo 8

Como definimos v=\dfrac{y}{x}, a última igualdade mostra que y' é uma função apenas de v=\dfrac{y}{x}. Portanto a equação diferencial tem o formato pedido:
y' = g\!\left(\frac{y}{x}\right),
onde g é a função que encontramos no passo anterior.

Resposta

g(t)=\frac{t^{2}-1}{2t}

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