Resolva geometricamente os PLs relativos às análises de atividades abaixo, sendo o bem 1 alimentos e o bem 2 vestuário. Diga quem são as restrições ativas e inativas no ponto de ótimo e encontre os preços-sombra dos fatores de produção trabalho (L), capital (K) e terra (T). \left\{\begin{array}{cl}\max _{x_{1}, x_{2}} & Y\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+2 x_{2} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 27(\mathrm{~L}) \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10(\mathrm{~K}) \\\ & 2 x_{1}+x_{2} \leq 16(\mathrm{~T}) \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 .\end{array}\right.
Da primeira x_{1}=27-3x_{2}\]. Substituindo na segunda:
\[2(27-3x_{2})+x_{2}=16 \Rightarrow 54-6x_{2}+x_{2}=16 \Rightarrow -5x_{2}=-38\]
Logo \[x_{2}=38/5=7{,}6 e x_{1}=27-3\cdot7{,}6=4{,}2.
Ponto: \bigl(4{,}2,\\\ 7{,}6\bigr).
\begin{aligned} \min_{y_{1},y_{2},y_{3}\ge0}\\ &27y_{1}+10y_{2}+16y_{3}\\[4pt] \text{s.a. }&y_{1}+y_{2}+2y_{3}\ge 3\quad\text{(coef. de }x_{1})\\[4pt] &3y_{1}+y_{2}+y_{3}\ge 2\quad\text{(coef. de }x_{2}). \end{aligned}]
Passo 8
Usar complementaridade (complementary slackness) para achar os preços-sombra sem resolver todo o dual numericamente.
Complementaridade diz que para cada restrição primal i\):
\[y_{i}\cdot (b_{i}-a_{i}x^{*})=0.
Assim, se a restrição i é inativa (tem folga positiva), então y_{i}=0. Como verificamos que \mathrm{L} é inativa em (6,4), temos
y_{1}=0.
Além disso, para cada variável primal x_{j} estritamente positiva, a desigualdade dual correspondente deve entrar com igualdade (ou seja, se x_{j}>0 então (A^{T}y)_{j}=c_{j}). Como x_{1}^{*}=6>0 e x_{2}^{*}=4>0, ambas as igualdades do dual devem ser satisfeitas com igualdade:
Subtraindo a segunda da primeira: y_{3}=1\]. Substituindo em \(y_{2}+y_{3}=2 obtemos y_{2}=1.
Logo
y_{1}=0,\quad y_{2}=1,\quad y_{3}=1.]
Passo 9
Verificação rápida (consistência pelo valor objetivo dual = primal):
Calcular 27y_{1}+10y_{2}+16y_{3}=27\cdot0+10\cdot1+16\cdot1=10+16=26,
que coincide com o valor ótimo primal Y^{*}=26. Portanto os preços-sombra achados estão corretos.
Interpretação curta: o preço-sombra de \mathrm{K} é 1, então aumentar a disponibilidade de capital em uma unidade aumentaria o valor máximo Y em aproximadamente 1 unidade (na vizinhança), semelhantemente para \mathrm{T} o preço-sombra é 1; para \mathrm{L} o preço-sombra é 0 (aumentos pequenos em \mathrm{L} não aumentariam Y porque \mathrm{L} não é o gargalo no ponto ótimo).