Resolva geometricamente os PLs relativos às análises de atividades abaixo, sendo o bem 1 alimentos e o bem 2 vestuário. Diga quem são as restrições ativas e inativas no ponto de ótimo e encontre os preços-sombra dos fatores de produção trabalho (L), capital (K) e terra (T).
\left\{\begin{array}{cl}\max _{x_{1}, x_{2}} & Y\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+2 x_{2} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 27(\mathrm{~L}) \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10(\mathrm{~K}) \\\ & 2 x_{1}+x_{2} \leq 16(\mathrm{~T}) \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Encontrar geometricamente o ponto ótimo da PL
\begin{aligned} \max_{x_{1},x_{2}}\\ &Y(x_{1},x_{2})=3x_{1}+2x_{2}\\\ \text{s.a. }&x_{1}+3x_{2}\le 27\quad(\mathrm{L})\\\ &x_{1}+x_{2}\le 10\quad(\mathrm{K})\\\ &2x_{1}+x_{2}\le 16\quad(\mathrm{T})\\\ &x_{1}\ge0,\\ x_{2}\ge0, \end{aligned}
  • Dizer quais restrições são ativas e inativas no ponto ótimo;
  • Encontrar os preços-sombra (valores duals) dos fatores trabalho ( \mathrm{L}), capital ( \mathrm{K}) e terra ( \mathrm{T}).
Informações fornecidas (listadas):
  • Função objetivo: Y(x_{1},x_{2})=3x_{1}+2x_{2}.
  • Três restrições lineares nomeadas \mathrm{L},\mathrm{K},\mathrm{T} como acima.
  • Não-negatividade: x_{1}\ge0,\\ x_{2}\ge0.

Passo 2

Calcular interceptos das retas (úteis para desenhar/entender a região factível):
Para \mathrm{L}:\\ x_{1}+3x_{2}=27.
  • Intercepto em x_{1} (quando x_{2}=0): x_{1}=27.
  • Intercepto em x_{2} (quando x_{1}=0): x_{2}=9.
Para \mathrm{K}:\\ x_{1}+x_{2}=10.
  • Interceptos: x_{1}=10 ou x_{2}=10.
Para \mathrm{T}:\\\ 2x_{1}+x_{2}=16.
  • Interceptos: x_{1}=8 ou x_{2}=16.
Esses interceptos mostram onde cada restrição cruza os eixos e ajudam a identificar o polígono factível.

Passo 3

Calcular interseções par a par das retas (resolver sistemas lineares) para obter vértices candidatos.
Interseção \mathrm{L}\) e \(\mathrm{K}\): resolver \[\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27\\[4pt] x_{1}+x_{2}=10 \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: 2x_{2}=17\Rightarrow x_{2}=17/2=8{,}5\]. Então \[x_{1}=10-8{,}5=1{,}5.
Ponto: \bigl(1{,}5,\\\ 8{,}5\bigr).
Interseção \mathrm{L} e \mathrm{T}: resolver
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=16 \end{cases}
Da primeira x_{1}=27-3x_{2}\]. Substituindo na segunda: \[2(27-3x_{2})+x_{2}=16 \Rightarrow 54-6x_{2}+x_{2}=16 \Rightarrow -5x_{2}=-38\] Logo \[x_{2}=38/5=7{,}6 e x_{1}=27-3\cdot7{,}6=4{,}2.
Ponto: \bigl(4{,}2,\\\ 7{,}6\bigr).
Interseção \mathrm{K} e \mathrm{T}: resolver
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=10\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=16 \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: x_{1}=6\]. Então \(x_{2}=4.
Ponto: (6,\\\ 4).]

Passo 4

Verificar quais desses pontos são factíveis (satisfazem todas as desigualdades) e listar os vértices do polígono factível.
  • \bigl(1{,}5,\\\ 8{,}5\bigr): já vem das restrições \mathrm{L} e \mathrm{K}. Verificar \mathrm{T}:
2\cdot1{,}5+8{,}5=3+8{,}5=11{,}5\le16,
portanto é factível.
  • \bigl(4{,}2,\\\ 7{,}6\bigr): é interseção \mathrm{L}& \mathrm{T}. Verificar \mathrm{K}:
4{,}2+7{,}6=11{,}8>10,
portanto este ponto NÃO é factível (violou \mathrm{K}).
  • (6,4): já calculado; verificar \mathrm{L}:
6+3\cdot4=6+12=18\le27,
logo factível.
Além desses, os vértices na fronteira com os eixos são:
  • (0,0),
  • na interseção de \mathrm{T} com o eixo x_{1}: (8,0),
  • na interseção de \mathrm{L} com o eixo x_{2}: (0,9).
Portanto os vértices do polígono factível são (em ordem ao redor): (0,0),\\ (8,0),\\ (6,4),\\ (1{,}5,8{,}5),\\ (0,9).

Passo 5

Avaliar a função objetivo Y=3x_{1}+2x_{2} em cada vértice factível (método gráfico padrão: máximo em um vértice):
  • Em (0,0): Y=0.
  • Em (8,0): Y=3\cdot8+2\cdot0=24.
  • Em (6,4): Y=3\cdot6+2\cdot4=18+8=26.
  • Em \bigl(1{,}5,\\\ 8{,}5\bigr): Y=3\cdot1{,}5+2\cdot8{,}5=4{,}5+17=21{,}5.
  • Em (0,9): Y=2\cdot9=18.
Comparando, o maior valor é Y=26 em (6,4). Logo o ponto ótimo é (x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(6,4).

Passo 6

Determinar restrições ativas/inativas no ponto ótimo (6,4).
Uma restrição é ativa se no ponto ótimo ela se verifica com igualdade; é inativa se a desigualdade é estrita.
Calcular cada LHS em (6,4):
\mathrm{L}:\\\ 6+3\cdot4=18<27\quad\text{(estrita, inativa)}.
\mathrm{K}:\\\ 6+4=10=10\quad\text{(igualdade, ativa)}.
\mathrm{T}:\\\ 2\cdot6+4=12+4=16=16\quad\text{(igualdade, ativa)}.
Também x_{1}=6>0,\\ x_{2}=4>0 (não ativas as restrições de não-negatividade).
Portanto: restrições ativas no ótimo: \mathrm{K} e \mathrm{T}. Restrição inativa: \mathrm{L}.

Passo 7

Introduzir a ideia de preços-sombra (valores duals) e montar o problema dual.
Para a PL primal na forma padrão (maximizar c^{T}x sujeito a Ax\le b,\\ x\ge0), o dual é um problema de minimização:
\min_{y\ge0}\\ b^{T}y
sujeito a
A^{T}y\ge c,
onde cada componente y_{i} é o preço-sombra associado à restrição i. Aqui, as variáveis dual são:
y_{1}\\ (\text{para }\mathrm{L}),\quad y_{2}\\ (\text{para }\mathrm{K}),\quad y_{3}\\ (\text{para }\mathrm{T}).
Escrevendo o dual explicitamente:
\begin{aligned} \min_{y_{1},y_{2},y_{3}\ge0}\\ &27y_{1}+10y_{2}+16y_{3}\\[4pt] \text{s.a. }&y_{1}+y_{2}+2y_{3}\ge 3\quad\text{(coef. de }x_{1})\\[4pt] &3y_{1}+y_{2}+y_{3}\ge 2\quad\text{(coef. de }x_{2}). \end{aligned}]

Passo 8

Usar complementaridade (complementary slackness) para achar os preços-sombra sem resolver todo o dual numericamente.
Complementaridade diz que para cada restrição primal i\): \[y_{i}\cdot (b_{i}-a_{i}x^{*})=0.
Assim, se a restrição i é inativa (tem folga positiva), então y_{i}=0. Como verificamos que \mathrm{L} é inativa em (6,4), temos
y_{1}=0.
Além disso, para cada variável primal x_{j} estritamente positiva, a desigualdade dual correspondente deve entrar com igualdade (ou seja, se x_{j}>0 então (A^{T}y)_{j}=c_{j}). Como x_{1}^{*}=6>0 e x_{2}^{*}=4>0, ambas as igualdades do dual devem ser satisfeitas com igualdade:
Com y_{1}=0, as igualdades ficam
\begin{cases} y_{2}+2y_{3}=3\\[4pt] y_{2}+y_{3}=2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: y_{3}=1\]. Substituindo em \(y_{2}+y_{3}=2 obtemos y_{2}=1.
Logo
y_{1}=0,\quad y_{2}=1,\quad y_{3}=1.]

Passo 9

Verificação rápida (consistência pelo valor objetivo dual = primal):
Calcular 27y_{1}+10y_{2}+16y_{3}=27\cdot0+10\cdot1+16\cdot1=10+16=26,
que coincide com o valor ótimo primal Y^{*}=26. Portanto os preços-sombra achados estão corretos.
Interpretação curta: o preço-sombra de \mathrm{K} é 1, então aumentar a disponibilidade de capital em uma unidade aumentaria o valor máximo Y em aproximadamente 1 unidade (na vizinhança), semelhantemente para \mathrm{T} o preço-sombra é 1; para \mathrm{L} o preço-sombra é 0 (aumentos pequenos em \mathrm{L} não aumentariam Y porque \mathrm{L} não é o gargalo no ponto ótimo).

Resposta

Restrições ativas: \mathrm{K} e \mathrm{T}. Restrição inativa: \mathrm{L}.
Preços-sombra: y_{\mathrm{L}}=0,\\ y_{\mathrm{K}}=1,\\ y_{\mathrm{T}}=1.

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