Resolva graficamente os seguintes PPL
(1)
max & 4 x1+7 x2 & x1 <= 6 & x2 <= 8 & 4 x1-2 x2 <= 10 & x1, x2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver graficamente o problema de programação linear
max;4x1+7x2
sujeito a
x1<=6, x2<=8, 4x1-2x2<=10, x1,x2>=0
O conteúdo é método gráfico para PPL em duas variáveis: vamos traçar cada restrição no plano (x1,x2), identificar a região factível (um polígono convexo) e usar o fato de que o máximo de uma função linear ocorre num dos vértices desse polígono.

Passo 2

Transformamos cada desigualdade em forma de reta e definimos o semiplano válido:
1. ;x1<=6; é a região à esquerda da reta x1=6.
2. ;x2<=8; é a região abaixo da reta x2=8.
3. ;4x1-2x2<=10; reescrevendo em função de x2:
4x1-2x2<=10 Longrightarrow -2x2<=10-4x1 Longrightarrow x2>=2x1-5
Isso significa a região acima da reta x2=2x1-5.
4. Além disso, x1>=0 e x2>=0 limitam ao primeiro quadrante.

Passo 3

Encontramos agora os vértices da região factível como interseções entre pares de fronteiras:
1. Interseção de x1=0 e x2=0:
(0,0).
2. Interseção de x2=0 com x2=2x1-5:
0 = 2x1-5 Longrightarrow x1=2,5,
dando o ponto l(2,5,0r).
3. Interseção de x1=6 com x2=2x1-5:
x2=2cdot6-5=7,
ponto l(6,7r).
4. Interseção de x1=6 com x2=8:
;(6,8), que satisfaz 8>=2cdot6-5.
5. Interseção de x1=0 com x2=8:
(0,8).
Assim o polígono factível tem vértices
(0,0),;(2,5,0),;(6,7),;(6,8),;(0,8)

Passo 4

Calculamos o valor da função objetivo ;z=4x1+7x2; em cada vértice:
1. Em (0,0):
z = 4cdot0 + 7cdot0 = 0
2. Em l(2,5,0r):
z = 4cdot2,5 + 7cdot0 = 10
3. Em (0,8):
z = 4cdot0 + 7cdot8 = 56
4. Em (6,7):
z = 4cdot6 + 7cdot7 = 24 + 49 = 73
5. Em (6,8):
z = 4cdot6 + 7cdot8 = 24 + 56 = 80

Passo 5

Comparando os valores, o maior é z=80 em (6,8). Logo a solução ótima ocorre nesse vértice.

Resposta

A solução ótima é
x1^*=6, x2^*=8,
com valor máximo
zmax=80

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