Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes
sumn=2^+infty n^2-1raiz[3]n^9+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^+infty n^2-1raiz[3]n^9+1.
Estamos tratando de uma série de termos positivos, então faz sentido usar o critério da comparação ou o critério da comparação de limite (limit comparison test).

Passo 2

Observamos o comportamento para n grande. No numerador temos n^2-1sim n^2 e no denominador
raiz[3]n^9+1sim raiz[3]n^9 = n^3
Logo, para ntoinfty,
n^2-1raiz[3]n^9+1sim n^2n^3 = 1n

Passo 3

Aplicamos o critério da comparação de limite com a série harmônica sum 1/n. Calculamos
limntoinftyn^2-1raiz[3]n^9+11n = limntoinftyn(n^2-1)raiz[3]n^9+1 = limntoinftyn^3-nn^3raiz[3]1+1/n^9 = 1
Como esse limite é um número finito e não nulo, ambas as séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabendo que a série harmônica sumn=2^infty1/n diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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