Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis.
e^t+y y^prime=e^2 t-y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
e^t+y,y' = e^2t-y,
que é do tipo separável. Vamos isolar y', separar variáveis e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo y' = dfracdydt, temos
e^t+y,dydt = e^2t-y Longrightarrow dydt = e^2t-y-(t+y) = e^t-2y

Passo 3

Agora separamos as variáveis agrupando y de um lado e t do outro:
e^2y,dy = e^t,dt

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy = integral e^t,dt Longrightarrow 12e^2y = e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 2 e renomeando 2C como nova constante C1, obtemos
e^2y = 2,e^t + C1
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
2y = lnl(2e^t + C1r) Longrightarrow y(t) = 12,lnl(2e^t + C1r)

Resposta

y(t) = 12,lnl(2e^t + Cr),
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados