Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:

Passo 1

O enunciado pede a solução de primeira ordem da PDE
ux-a,uy=e^m xcos(b y),
com condição de contorno
u(a t,t)=p(t), tinR
Vamos usar superposição: a solução geral é
u(x,y)=uh(x,y)+up(x,y),
onde uh resolve a homogênea ux-a,uy=0 e up é uma particular.

Passo 2

A equação homogênea tem integral primeira a x+y=const, logo
uh(x,y)=f(a x+y)
para alguma função f.

Passo 3

Procuramos up no tipo “coeficientes a determinar”:
up(x,y)=e^m xl(Ccos(b y)+Dsin(b y)r)
Calcula-se
up,x-a,up,y =e^m xl[(mC -a bD)cos(b y)+(mD +a bC)sin(b y)r]
e impõe-se igualdade a e^m xcos(b y). Isso gera o sistema
mC -a bD=1, mD +a bC=0,
cuja solução é
C=mm^2 +a^2b^2, D=-a bm^2 +a^2b^2
Portanto
up(x,y) =e^m xm^2 +a^2b^2l(mcos(b y)-a bsin(b y)r)

Passo 4

A solução geral fica
u(x,y)=f(a x+y) +e^m xm^2 +a^2b^2l(mcos(b y)-a bsin(b y)r)
Na curva x=a t,;y=t temos a x+y=(1+a^2)t e
u(a t,t) =fl((1+a^2)tr) +e^m a tm^2 +a^2b^2l(mcos(b t)-a bsin(b t)r) =p(t)
Logo, definindo s=(1+a^2)t (ou t=s/(1+a^2)),
f(s) =p!l(tfracs1+a^2r) -e^ma s1+a^2m^2 +a^2b^2 l(mcosl(tfracb s1+a^2r) -a bsinl(tfracb s1+a^2r)r)

Passo 5

Substituindo s=a x+y em f(s) e somando up, obtemos
u(x,y) =p!l(tfraca x+y1+a^2r) +e^m xm^2 +a^2b^2l(mcos(b y)-a bsin(b y)r) -e^ma x+y1+a^2m^2 +a^2b^2 l(mcosl(tfracb(a x+y)1+a^2r) -a bsinl(tfracb(a x+y)1+a^2r)r)
A região de validade é todo o plano R^2, pois 1+a^2neq0
e a curva inicial atinge qualquer (x,y).

Resposta

u(x,y) =p!l(a x+y1+a^2r) +e^m xm^2 +a^2b^2l(mcos(b y)-a bsin(b y)r) -e^ma x+y1+a^2m^2 +a^2b^2 l(mcosl(tfracb(a x+y)1+a^2r) -a bsinl(tfracb(a x+y)1+a^2r)r),
válida em R^2.

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