Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:
Passo 1
O enunciado pede a solução de primeira ordem da PDE
com condição de contorno
Vamos usar superposição: a solução geral é
onde
resolve a homogênea
e
é uma particular.
Passo 2
A equação homogênea tem integral primeira
, logo
para alguma função
.
Passo 3
Procuramos
no tipo “coeficientes a determinar”:
Calcula-se
e impõe-se igualdade a
. Isso gera o sistema
cuja solução é
Portanto
Passo 4
A solução geral fica
Na curva
temos
e
Logo, definindo
(ou
),
Passo 5
Substituindo
em
e somando
, obtemos
A região de validade é todo o plano
, pois
e a curva inicial atinge qualquer .
e a curva inicial atinge qualquer
Resposta
válida em
.