Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:
ux+x uy=x^3+3 x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação em derivadas parciais de primeira ordem
ux + x,uy = x^3 + 3xy,
usando o método das características. Neste método, tratamos x, y e u como funções de um parâmetro t e resolvemos o sistema
dxdt=1, dydt=x, dudt=x^3+3x,y

Passo 2

Da relação dydt/dxdt=dydx=x, integramos em x:
dydx=x Longrightarrow y = x^22 + C1
Logo a primeira constante de integração (invariante) é
I = y - x^22

Passo 3

Para u, usamos dudx = du/dtdx/dt = x^3 + 3x,y. Substituindo y = tfracx^22+C1,
dudx = x^3 + 3xl(x^22+C1r) = 52,x^3 + 3C1,x
Integramos em x:
u(x,y) = integral l(tfrac52x^3 + 3C1,xr),dx = 58x^4 + 32C1,x^2 + C2

Passo 4

Reescrevendo em termos de I = y - tfracx^22 e deixando C2 como função arbitrária Phi(I), obtemos
u(x,y) = 58x^4 + 32l(y - tfracx^22r)x^2 + Phi!l(y - tfracx^22r)
Simplificando o termo em x^4:
u(x,y) = -18x^4 + 32x^2y + Phi!l(y - tfracx^22r)

Passo 5

A solução geral é
u(x,y) = -18x^4 + 32x^2y + Phi!l(y - tfracx^22r),
onde Phi é função arbitrária de uma variável. Essa solução é válida em qualquer região do plano em que a combinação
;I=y-tfracx^22
assuma valores em um intervalo onde Phi esteja definida (por exemplo, numa faixa do tipo (x,y)mid y-tfracx^22in J).

Resposta

u(x,y) = -18x^4 + 32x^2y + Phi!l(y - tfracx^22r),
válida em qualquer região do plano em que y-tfracx^22 pertença ao domínio de Phi.

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