Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:
Passo 1
O enunciado dá a equação de primeira ordem
com condição inicial
para
.
O conteúdo é o método das características para equações quase-lineares, e precisaremos resolver o sistema característico
O conteúdo é o método das características para equações quase-lineares, e precisaremos resolver o sistema característico
Passo 2
Igualando os dois primeiros termos do sistema, temos
e integrando obtemos
onde
é constante ao longo de cada característica.
Passo 3
Agora igualamos os dois últimos termos:
e integrando ao longo da característica aparece
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição inicial: em
devemos ter
. Nesse caso
. Chamando o parâmetro inicial de
, temos
e
Para expressar
em termos de
, note que
dá
, logo
Passo 5
Substituindo
na expressão geral de
, obtemos
Para simplificar, note que
Assim
e portanto a solução fica
Passo 6
Para que a expressão faça sentido e corresponda às características que saem da curva
, precisamos que o denominador não anule e que o parâmetro inicial
seja positivo. Da fórmula
vemos que a condição é
com
.