Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
x^2ux+y^2uy=x^3,
com condição inicial u(x,1)=1 para x>0.
O conteúdo é o método das características para equações quase-lineares, e precisaremos resolver o sistema característico
dxx^2 = dyy^2 = dux^3

Passo 2

Igualando os dois primeiros termos do sistema, temos
dxx^2 = dyy^2
e integrando obtemos
-,1x = -,1y + C1 Longrightarrow 1y-1x=s,
onde s é constante ao longo de cada característica.

Passo 3

Agora igualamos os dois últimos termos:
dxx^2 = dux^3 Longrightarrow du = x,dx
e integrando ao longo da característica aparece
u = x^22 + Phi(s),
onde Phi é uma função arbitrária de s.

Passo 4

Para determinar Phi, usamos a condição inicial: em y=1 devemos ter u(x,1)=1. Nesse caso s = 1/y - 1/x = 1 - 1/x. Chamando o parâmetro inicial de xi, temos s=1-1/xi e
1 = u(xi,1) = xi^22 + Phil(1- tfrac1xir) Longrightarrow Phil(1-tfrac1xir) = 1 - xi^22
Para expressar Phi em termos de s, note que s=1-1/xi xi=1/(1-s), logo
Phi(s)=1-12,(1-s)^2

Passo 5

Substituindo Phi(s) na expressão geral de u, obtemos
u(x,y) = x^22 + 1 ;-; 12l(1 - (,tfrac1y-tfrac1x,)r)^2
Para simplificar, note que
1 - l(tfrac1y-tfrac1xr) = 1 - 1y + 1x = y(x+1)-xxy
Assim
l(1 - (,tfrac1y-tfrac1x)r)^2 = l[y(x+1)-xr]^2x^2y^2,
e portanto a solução fica
u(x,y) = x^22 + 1 ;-; x^2y^22,[,y(x+1)-x,]^2

Passo 6

Para que a expressão faça sentido e corresponda às características que saem da curva y=1, precisamos que o denominador não anule e que o parâmetro inicial xi seja positivo. Da fórmula
xi = xyy(x+1)-x>0
vemos que a condição é
y(x+1)-x>0 Long<=ftrightarrow y>xx+1,
com x>0.

Resposta

boxed u(x,y) = x^22 + 1 - x^2y^22,[,y(x+1)-x,]^2, válida para x>0 e y>xx+1 á

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