Resolva a inequação:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma inequação:
Estamos lidando com inequações fracionárias, que envolvem frações com variáveis no denominador. Para resolver isso, precisamos entender sobre domínio das funções (valores que x pode assumir sem que o denominador seja zero) e comparação de frações.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos encontrar o domínio da inequação, ou seja, os valores de x que não tornam os denominadores zero.
- Para o denominador
:
- Para o denominador
:
Então, o domínio da inequação é
exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação:
Para comparar essas frações, precisamos trazer tudo para o mesmo lado da desigualdade:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão subtraindo as frações. Para isso, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores
e
, que é
.
Reescrevendo as frações com o MMC:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 6
Vamos simplificar o sinal:
Multiplicamos numerador e denominador por
(lembrando que ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
Passo 7
Agora, precisamos determinar onde a expressão:
é maior que zero. Para isso, analisamos os sinais de cada fator:
-
: muda de sinal em -
: muda de sinal em -
: muda de sinal em
Passo 8
Vamos criar uma linha dos números e marcar os pontos críticos onde os sinais mudam:
,
e
.
Dividimos a linha em intervalos:
Passo 9
Agora, vamos testar cada intervalo para determinar o sinal da expressão:
-
: -
-
-
- Sinal:
-
-
: -
-
-
- Sinal:
-
-
: -
-
-
- Sinal:
-
-
: -
-
-
- Sinal:
-
Passo 10
Estamos procurando onde a expressão é maior que zero. Observando os sinais:
- Intervalo
: positivo - Intervalo
: positivo
Passo 11
Finalmente, lembrando do domínio:
Resposta
A solução da inequação é: