Resolva a inequação:
12 x+1<11-x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma inequação:
12x + 1 < 11 - x
Estamos lidando com inequações fracionárias, que envolvem frações com variáveis no denominador. Para resolver isso, precisamos entender sobre domínio das funções (valores que x pode assumir sem que o denominador seja zero) e comparação de frações.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos encontrar o domínio da inequação, ou seja, os valores de x que não tornam os denominadores zero.
  1. Para o denominador 2x + 1:
2x + 1 neq 0 implies x neq -12
  1. Para o denominador 1 - x:
1 - x neq 0 implies x neq 1
Então, o domínio da inequação é x in R exceto x neq -12 e x neq 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação:
12x + 1 < 11 - x
Para comparar essas frações, precisamos trazer tudo para o mesmo lado da desigualdade:
12x + 1 - 11 - x < 0

Passo 4

Vamos simplificar a expressão subtraindo as frações. Para isso, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 2x + 1 e 1 - x, que é (2x + 1)(1 - x).
Reescrevendo as frações com o MMC:
1 cdot (1 - x)(2x + 1)(1 - x) - 1 cdot (2x + 1)(1 - x)(2x + 1) < 0
Simplificando:
1 - x - (2x + 1)(2x + 1)(1 - x) < 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador:
1 - x - 2x - 1 = -3x
Então, a inequação fica:
-3x(2x + 1)(1 - x) < 0

Passo 6

Vamos simplificar o sinal:
Multiplicamos numerador e denominador por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
3x(2x + 1)(x - 1) > 0

Passo 7

Agora, precisamos determinar onde a expressão:
3x(2x + 1)(x - 1)
é maior que zero. Para isso, analisamos os sinais de cada fator:
  1. 3x: muda de sinal em x = 0
  2. 2x + 1: muda de sinal em x = -12
  3. x - 1: muda de sinal em x = 1

Passo 8

Vamos criar uma linha dos números e marcar os pontos críticos onde os sinais mudam: -12, 0 e 1.
Dividimos a linha em intervalos:
  1. x < -12
  2. -12 < x < 0
  3. 0 < x < 1
  4. x > 1

Passo 9

Agora, vamos testar cada intervalo para determinar o sinal da expressão:
  1. x < -12:
    • 3x < 0
    • 2x + 1 < 0
    • x - 1 < 0
    • Sinal: -- cdot - = -+ = -
  2. -12 < x < 0:
    • 3x < 0
    • 2x + 1 > 0
    • x - 1 < 0
    • Sinal: -+ cdot - = -- = +
  3. 0 < x < 1:
    • 3x > 0
    • 2x + 1 > 0
    • x - 1 < 0
    • Sinal: ++ cdot - = +- = -
  4. x > 1:
    • 3x > 0
    • 2x + 1 > 0
    • x - 1 > 0
    • Sinal: ++ cdot + = ++ = +

Passo 10

Estamos procurando onde a expressão é maior que zero. Observando os sinais:
  • Intervalo -12 < x < 0: positivo
  • Intervalo x > 1: positivo

Passo 11

Finalmente, lembrando do domínio:
  • x neq -12
  • x neq 1

Resposta

A solução da inequação é:
-12 < x < 0 ou x > 1

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