Calcule a área da região limitada pelos gráficos de f(x)=sin x e g(x)=cos x, com 0 <= x <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=f(x)=sin x e y=g(x)=cos x no intervalo 0<= x<=pi/2. O tema é “área entre curvas”, e para resolver precisamos:
  1. Encontrar onde as curvas se cruzam.
  2. Verificar, em cada trecho, qual função está acima.
  3. Calcular a integral da diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção resolvemos
sin x = cos x
no intervalo [0,pi/2]. Como tan x = 1 implica x=pi/4, as curvas se cruzam em x=pi/4.

Passo 3

Precisamos ver quem está acima em cada parte:
  • Em 0<= x<pi/4, como cos x decai mais devagar que sin x, temos cos x>sin x.
  • Em pi/4<x<=pi/2, a situação inverte e sin x>cos x.

Passo 4

A área A é a soma de duas integrais:
A = integral0^pi/4l(cos x - sin xr),dx ;+;integralpi/4^pi/2l(sin x - cos xr),dx

Passo 5

Calcule a primeira integral:
integral0^pi/4(cos x - sin x),dx = l[sin x + cos xr]0^pi/4 = (tfracraiz22+tfracraiz22) - (0+1) = raiz2 - 1

Passo 6

Calcule a segunda integral:
integralpi/4^pi/2(sin x - cos x),dx = l[-cos x - sin xr]pi/4^pi/2 = l[(-0 -1) -(-tfracraiz22-tfracraiz22)r] = -1 + raiz2 = raiz2 - 1

Passo 7

Somando os dois resultados:
A = (raiz2 - 1) + (raiz2 - 1) = 2raiz2 - 2 = 2(raiz2 - 1)

Resposta

2(raiz2 - 1)

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