Sabendo que integral6^-10 f(x) d x=23 e integral-10^6 g(x) d x=-9 determine o valor de integral-10^6 2 f(x)-10 g(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas integrais definidas e pede para encontrar o valor de uma terceira integral que é uma combinação linear das funções f(x) e g(x) . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente as propriedades das integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular os limites de integração e aplicar a linearidade das integrais.

Passo 2

Primeiro, observe que temos integral6^-10 f(x) , dx = 23 . Normalmente, a integral vai de um limite menor para um maior, então vamos inverter os limites. Sabemos que:
integrala^b f(x) , dx = -integralb^a f(x) , dx
Aplicando isso:
integral-10^6 f(x) , dx = -integral6^-10 f(x) , dx = -23

Passo 3

Também nos é dado que integral-10^6 g(x) , dx = -9 . Agora, queremos encontrar integral-10^6 (2f(x) - 10g(x)) , dx . Pela linearidade das integrais, podemos separar essa integral em duas partes:
integral-10^6 2f(x) , dx - integral-10^6 10g(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. integral-10^6 2f(x) , dx = 2 integral-10^6 f(x) , dx = 2 times (-23) = -46
  2. integral-10^6 10g(x) , dx = 10 integral-10^6 g(x) , dx = 10 times (-9) = -90
Agora, substituímos de volta na expressão original:
-46 - (-90) = -46 + 90 = 44

Resposta

O valor de integral-10^6 2f(x) - 10g(x) , dx é 44.

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