Resolva a inequação abaixo,
(x-a)(x-b)(x-c)x >= 0
onde a e a>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A questão que temos é:
(x-a)(x-b)(x-c)x >= 0
Aqui, sabemos que a < b < c e a > 0. Isso significa que a, b e c são números positivos e estão em ordem crescente. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como os sinais das parcelas mudam conforme x varia e encontrar onde a expressão toda é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da expressão, ou seja, os valores de x que fazem o numerador ou o denominador ser zero. Esses pontos são x = a, x = b, x = c e x = 0. Eles dividem a reta dos números em intervalos onde a expressão pode mudar de sinal.

Passo 3

Agora, vamos listar esses pontos em ordem crescente:
0 < a < b < c
Isso cria cinco intervalos para analisarmos:
  1. x < 0
  2. 0 < x < a
  3. a < x < b
  4. b < x < c
  5. x > c

Passo 4

Em cada um desses intervalos, vamos determinar o sinal de cada fator na expressão (x-a)(x-b)(x-c)x:
  • Para x < 0:
    • x é negativo
    • x - a, x - b, x - c são todos negativos
  • Para 0 < x < a:
    • x é positivo
    • x - a, x - b, x - c são negativos
  • Para a < x < b:
    • x é positivo
    • x - a é positivo
    • x - b, x - c são negativos
  • Para b < x < c:
    • x é positivo
    • x - a, x - b são positivos
    • x - c é negativo
  • Para x > c:
    • x é positivo
    • x - a, x - b, x - c são positivos

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os sinais em cada intervalo para determinar o sinal da expressão inteira:
  • Para x < 0:
    • (-)(-)(-)- = -- = +
  • Para 0 < x < a:
    • (-)(-)(-)+ = -+ = -
  • Para a < x < b:
    • (+)(-)(-)+ = ++ = +
  • Para b < x < c:
    • (+)(+)(-)+ = -+ = -
  • Para x > c:
    • (+)(+)(+)+ = ++ = +

Passo 6

Agora, vamos considerar onde a expressão é maior ou igual a zero. Isso acontece nos intervalos onde o sinal é positivo ou onde a expressão é igual a zero (nos pontos críticos):
  • x < 0 : positivo
  • x = 0 : indefinido (não incluímos)
  • 0 < x < a : negativo
  • x = a : zero
  • a < x < b : positivo
  • x = b : zero
  • b < x < c : negativo
  • x = c : zero
  • x > c : positivo

Passo 7

Juntando tudo, os valores de x que satisfazem a inequação (x-a)(x-b)(x-c)x >= 0 são:
x in (-infty, 0) cup [a, b] cup [c, +infty)

Resposta

A solução da inequação é:
x in (-infty, 0) cup [a, b] cup [c, +infty)

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