Resolva a inequação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
.
Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, especificamente o logaritmo natural (
). Para resolver essa inequação, vamos precisar entender quando o logaritmo de uma expressão é menor ou igual a zero. Isso envolve conhecer as propriedades do logaritmo e resolver desigualdades quadráticas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural
só está definido quando
. Ou seja, a expressão dentro do logaritmo, que no caso é
, precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, sabemos que a parabola
abre para cima (coeficiente de
positivo). Portanto, a expressão
é maior que zero quando
ou
.
Passo 5
Agora, voltamos à inequação original:
. Sabemos que
equivale a
, desde que
. Assim, precisamos resolver:
E, claro, manter
.
Passo 6
Vamos resolver
:
Encontramos as raízes dessa equação quadrática:
Usando Bhaskara novamente:
Assim, as raízes são
e
.
Passo 7
Como a parabola
também abre para cima, a expressão
é menor ou igual a zero entre as raízes. Portanto, a solução dessa desigualdade é:
Passo 8
Agora, juntando as duas condições que temos:
-
ou -
Precisamos encontrar onde essas duas condições se sobrepõem.
Passo 9
Calculando os valores aproximados:
Então, a interseção das duas condições é:
- Entre
e - Entre
e
Resposta
A solução da inequação é: