Resolva a inequação ln (x^2-2 x-2) <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação ln (x^2-2 x-2) <= 0.
Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, especificamente o logaritmo natural ( ln). Para resolver essa inequação, vamos precisar entender quando o logaritmo de uma expressão é menor ou igual a zero. Isso envolve conhecer as propriedades do logaritmo e resolver desigualdades quadráticas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural ln(u) só está definido quando u > 0. Ou seja, a expressão dentro do logaritmo, que no caso é x^2 - 2x - 2, precisa ser maior que zero:
x^2 - 2x - 2 > 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade x^2 - 2x - 2 > 0. Para isso, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
x^2 - 2x - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 2 pm 2raiz32 = 1 pm raiz3
Então, as raízes são x = 1 + raiz3 e x = 1 - raiz3.

Passo 4

Com as raízes encontradas, sabemos que a parabola y = x^2 - 2x - 2 abre para cima (coeficiente de x^2 positivo). Portanto, a expressão x^2 - 2x - 2 é maior que zero quando x < 1 - raiz3 ou x > 1 + raiz3.

Passo 5

Agora, voltamos à inequação original: ln (x^2-2 x-2) <= 0. Sabemos que ln(u) <= 0 equivale a u <= 1, desde que u > 0. Assim, precisamos resolver:
x^2 - 2x - 2 <= 1
E, claro, manter x^2 - 2x - 2 > 0.

Passo 6

Vamos resolver x^2 - 2x - 2 <= 1:
x^2 - 2x - 3 <= 0
Encontramos as raízes dessa equação quadrática:
x^2 - 2x - 3 = 0
Usando Bhaskara novamente:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Assim, as raízes são x = 3 e x = -1.

Passo 7

Como a parabola y = x^2 - 2x - 3 também abre para cima, a expressão x^2 - 2x - 3 é menor ou igual a zero entre as raízes. Portanto, a solução dessa desigualdade é:
-1 <= x <= 3

Passo 8

Agora, juntando as duas condições que temos:
  1. x < 1 - raiz3 ou x > 1 + raiz3
  2. -1 <= x <= 3
Precisamos encontrar onde essas duas condições se sobrepõem.

Passo 9

Calculando os valores aproximados:
1 - raiz3 approx 1 - 1,732 approx -0,732
1 + raiz3 approx 1 + 1,732 approx 2,732
Então, a interseção das duas condições é:
  • Entre -1 e 1 - raiz3
  • Entre 1 + raiz3 e 3

Resposta

A solução da inequação é:
-1 <= x <= 1 - raiz3 ou 1 + raiz3 <= x <= 3

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