Como o coeficiente a=1>0, a parábola abre para cima, portanto a inequação x^{2}-5x-2\geq0 é satisfeita para os x fora do intervalo determinado pelas raízes, ou seja:
Note que as raízes são incluídas porque a desigualdade é do tipo \geq.
Passo 4
Resolvendo o caso 2:
x^{2}-5x \leq -2.
Somando 2 aos dois lados:
x^{2}-5x+2 \leq 0.
Novamente é uma inequação quadrática. Encontro as raízes da equação associada
x^{2}-5x+2=0.
Calculo o discriminante com a=1, b=-5, c=2:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot2=25-8=17.
As raízes são
x=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
Como a=1>0, a parábola abre para cima e a inequação x^{2}-5x+2\leq0 é satisfeita para os x entre as duas raízes (intervalo fechado, porque \leq):
\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \leq x \leq \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}.
Passo 5
Agora junto as soluções dos dois casos: a solução da inequação original é a união das soluções do caso 1 com as do caso 2. Não escrevo a união final aqui (ela estará na seção de resposta), mas já temos os três intervalos que aparecem:
intervalo à esquerda até \dfrac{5-\sqrt{33}}{2} (incluindo o ponto),
intervalo entre \dfrac{5-\sqrt{17}}{2} e \dfrac{5+\sqrt{17}}{2} (ambos incluídos),
intervalo à direita a partir de \dfrac{5+\sqrt{33}}{2} (incluindo o ponto).
Passo 6
Interpretação rápida e verificação qualitativa (dica para a prova): graficamente, x^{2}-5x é uma parábola e a condição |x^{2}-5x|\ge 2 pede pontos onde a parábola está acima de 2 ou abaixo de -2. Isso normalmente gera até três intervalos de solução (dois “externos” e um “central”), exatamente como obtivemos. Se quiser aproximar numericamente para checar: