Resolva a inequação modular quadrática:
\left|x^{2}-5 x\right| \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left|x^{2}-5 x\right| \geq 2.
Pergunta explícita: encontrar todos os valores de x (no conjunto dos números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do módulo é x^{2}-5x.
  • O módulo dessa expressão deve ser maior ou igual a 2.

Passo 2

Lembrete importante sobre módulos (fórmula que vou usar): para qualquer expressão A e qualquer número real c\geq 0,
|A| \geq c \quad\Longleftrightarrow\quad A \geq c \quad\text{ou}\quad A \leq -c.
Aqui A = x^{2}-5x e c=2. Assim a inequação se transforma em duas inequações separadas:
x^{2}-5x \geq 2 \quad\text{ou}\quad x^{2}-5x \leq -2.
Vou resolver cada uma delas (caso 1 e caso 2) e depois juntar as soluções.

Passo 3

Resolvendo o caso 1:
x^{2}-5x \geq 2.
Subtraindo 2 dos dois lados:
x^{2}-5x-2 \geq 0.
Isto é uma inequação quadrática. Primeiro encontro as raízes da equação associada
x^{2}-5x-2=0.
Uso a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=1, b=-5, c=-2. Calculando o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=25+8=33.
Logo as raízes são
x=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{2}.
Como o coeficiente a=1>0, a parábola abre para cima, portanto a inequação x^{2}-5x-2\geq0 é satisfeita para os x fora do intervalo determinado pelas raízes, ou seja:
x\leq \dfrac{5-\sqrt{33}}{2} \quad\text{ou}\quad x\geq \dfrac{5+\sqrt{33}}{2}.
Note que as raízes são incluídas porque a desigualdade é do tipo \geq.

Passo 4

Resolvendo o caso 2:
x^{2}-5x \leq -2.
Somando 2 aos dois lados:
x^{2}-5x+2 \leq 0.
Novamente é uma inequação quadrática. Encontro as raízes da equação associada
x^{2}-5x+2=0.
Calculo o discriminante com a=1, b=-5, c=2:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot2=25-8=17.
As raízes são
x=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
Como a=1>0, a parábola abre para cima e a inequação x^{2}-5x+2\leq0 é satisfeita para os x entre as duas raízes (intervalo fechado, porque \leq):
\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \leq x \leq \dfrac{5+\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Agora junto as soluções dos dois casos: a solução da inequação original é a união das soluções do caso 1 com as do caso 2. Não escrevo a união final aqui (ela estará na seção de resposta), mas já temos os três intervalos que aparecem:
  • intervalo à esquerda até \dfrac{5-\sqrt{33}}{2} (incluindo o ponto),
  • intervalo entre \dfrac{5-\sqrt{17}}{2} e \dfrac{5+\sqrt{17}}{2} (ambos incluídos),
  • intervalo à direita a partir de \dfrac{5+\sqrt{33}}{2} (incluindo o ponto).

Passo 6

Interpretação rápida e verificação qualitativa (dica para a prova): graficamente, x^{2}-5x é uma parábola e a condição |x^{2}-5x|\ge 2 pede pontos onde a parábola está acima de 2 ou abaixo de -2. Isso normalmente gera até três intervalos de solução (dois “externos” e um “central”), exatamente como obtivemos. Se quiser aproximar numericamente para checar:
\dfrac{5-\sqrt{33}}{2}\approx -0,3723,\quad \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\approx 0,4384,
\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\approx 4,5616,\quad \dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\approx 5,3723.
Esses valores ajudam a visualizar a solução na reta numérica.

Resposta

\left(-\infty,\dfrac{5-\sqrt{33}}{2}\right]\;\cup\;\left[\dfrac{5-\sqrt{17}}{2},\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right]\;\cup\;\left[\dfrac{5+\sqrt{33}}{2},+\infty\right)

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