Resolva a inequação
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação $ |(x-2) \cdot (x+3)| > 0 $. Aqui estamos trabalhando com inequações envolvendo valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a expressão dentro do valor absoluto é maior que zero, igual a zero e menor que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: $ (x-2) \cdot (x+3) $. Vamos encontrar os pontos críticos onde essa expressão é igual a zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar separadamente.
Então, igualamos a expressão a zero:
Isso acontece quando:
Resolvendo essas equações:
Passo 3
Agora que temos os pontos críticos $ x = -3 $ e $ x = 2 $, vamos dividir a reta numérica em três intervalos e analisar o sinal da expressão $ (x-2) \cdot (x+3) $ em cada intervalo:
- Intervalo 1: $ x < -3 $
- Intervalo 2: $ -3 < x < 2 $
- Intervalo 3: $ x > 2 $
Passo 4
Vamos verificar o sinal da expressão $ (x-2) \cdot (x+3) $ em cada intervalo:
-
Para $ x < -3 $:
- $ x - 2 < 0 $
- $ x + 3 < 0 $
- Produto: Negativo × Negativo = Positivo
-
Para $ -3 < x < 2 $:
- $ x - 2 < 0 $
- $ x + 3 > 0 $
- Produto: Negativo × Positivo = Negativo
-
Para $ x > 2 $:
- $ x - 2 > 0 $
- $ x + 3 > 0 $
- Produto: Positivo × Positivo = Positivo
Passo 5
Agora, lembrando que estamos resolvendo $ |(x-2) \cdot (x+3)| > 0 $, queremos saber onde a expressão dentro do valor absoluto é diferente de zero, ou seja, onde é positiva ou negativa, mas excluindo os pontos onde é zero.
Com base na análise:
- Intervalo 1: $ x < -3 $ → expressão positiva
- Intervalo 2: $ -3 < x < 2 $ → expressão negativa
- Intervalo 3: $ x > 2 $ → expressão positiva
Como o valor absoluto é sempre não negativo, $ |(x-2) \cdot (x+3)| > 0 $ significa que a expressão dentro do valor absoluto não é zero. Portanto, os valores de $ x $ que satisfazem a inequação são todos os que estão fora dos pontos críticos $ x = -3 $ e $ x = 2 $.
Resposta
A solução da inequação $ |(x-2) \cdot (x+3)| > 0 $ é todos os números reais exceto $ x = -3 $ e $ x = 2 $. Em notação de intervalo: