Resolva a inequação |x-3| >= x+1, expressando a solução na forma de intervalo.
Resolva a inequação |x-3| >= x+1, expressando a solução na forma de intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação |x-3| >= x+1. Aqui estamos trabalhando com uma função valor absoluto, que é um conceito da matemática que mede a distância de um número até zero na reta numérica, sem considerar a direção. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto e as propriedades das inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inequação |A| >= B significa que a expressão dentro do valor absoluto é maior ou igual a B, ou menor ou igual a -B. No nosso caso, A = x - 3 e B = x + 1. Então, temos duas situações:
  1. x - 3 >= x + 1
  2. x - 3 <= -(x + 1)

Passo 3

Vamos resolver a primeira inequação:
x - 3 >= x + 1
Subtraia x de ambos os lados:
-3 >= 1
Isso não faz sentido, porque -3 nunca é maior ou igual a 1. Então, não há solução nessa primeira situação.

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda inequação:
x - 3 <= -(x + 1)
Primeiro, distribua o sinal negativo:
x - 3 <= -x - 1
Agora, some x em ambos os lados:
2x - 3 <= -1
Em seguida, adicione 3 em ambos os lados:
2x <= 2
Por fim, divida ambos os lados por 2:
x <= 1

Passo 5

Além disso, precisamos considerar que o valor dentro do valor absoluto deve ser maior ou igual a zero para a inequação fazer sentido. Então, temos que |x - 3| é sempre não negativo, e x + 1 precisa ser menor ou igual a |x - 3| , o que já foi considerado nas etapas anteriores.

Resposta

A solução da inequação |x-3| >= x+1 é todos os números reais menores ou iguais a 1. Em forma de intervalo, fica:
(-infty, 1]

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