Resolva a inequaçāo.
|x-4|<1

Passo 1

O enunciado dá a inequação |x-4|<1 e pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade. Informação importante que já temos: o lado direito é 1>0.

Passo 2

Entender o que significa |x-4|\). A definição do valor absoluto é: \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=x-4\]. Intuitivamente, \(|x-4| é a distância entre x e 4 na reta numérica. Então |x-4|<1 significa: a distância de x até 4 é menor que 1.]

Passo 3

Usar a propriedade padrão da desigualdade com valor absoluto: para qualquer u e qualquer a>0,
|u|<a\quad\Longleftrightarrow\quad -a<u<a.
Aplicando com u=x-4 e a=1, obtemos a inequação composta
-1 < x-4 < 1.
Breve justificativa dessa equivalência: se |u|<a então u está a menos de a de zero, ou seja contém-se entre -a e a; e se -a<u<a então o valor absoluto de u é menor que a.

Passo 4

Resolver a inequação composta adicionando 4 a todas as partes (isso preserva as desigualdades):
-1 < x-4 < 1 \quad\Longrightarrow\quad -1+4 < x-4+4 < 1+4 \quad\Longrightarrow\quad 3 < x < 5.
Expliquei cada passo: somar o mesmo número aos três termos não altera as relações de ordem.

Passo 5

Interpretar o resultado: a solução é todos os x estritamente entre 3 e 5. Como a desigualdade original era estrita ( <, não \le), os extremos x=3 e x=5 não pertencem à solução.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos:
  • Para x=4: |4-4|=0<1, funciona.
  • Para x=3{,}5: |3{,}5-4|=0{,}5<1, funciona.
  • Para x=3: |3-4|=1 não é menor que 1, então x=3 não serve.
  • Para x=5: |5-4|=1 também não serve.

Resposta

(3,5)

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