Reescreva a expressāo sem usar o símbolo de valor absoluto.
\left|x^{2}+1\right|

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left|x^{2}+1\right| e pede para reescrevê-la sem usar o símbolo de valor absoluto. Ou seja: encontrar uma expressão equivalente a \left|x^{2}+1\right| sem o operador |\cdot|, válida para todos os valores de x (domínio presumido: todos os reais).

Passo 2

Lembrete sobre o valor absoluto (definição): para qualquer número real \,a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Isto significa que, se sabemos o sinal de (a], podemos remover as barras de valor absoluto aplicando a regra apropriada.]

Passo 3

Avaliar o sinal de x^{2}+1. Primeiro observe que, para qualquer x\in\mathbb{R},
x^{2}\ge 0.
Explicando por que: se x=0 então x^{2}=0; se x>0 então x^{2}>0; se x<0 então (-x)>0 e (-x)^{2}=x^{2}>0. Em todas as situações x^{2} é não-negativo.

Passo 4

Somando 1 a x^{2} obtém-se
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}+1 \ge 1, em particular x^{2}+1>0. Conclusão: a expressão dentro do valor absoluto é sempre estritamente positiva para qualquer x real.

Passo 5

Aplicando a definição do valor absoluto ao caso em que a entrada é positiva: se a>0 então |a|=a. Como já mostramos que x^{2}+1>0 para todo x, segue que
\left|x^{2}+1\right| = x^{2}+1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Exemplo rápido para checar: para x=-3 tem-se x^{2}+1=9+1=10>0 e |10|=10, consistente com a igualdade acima.

Resposta

x^{2}+1

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