Resolva a inequação de quociente: \frac{2 x+1}{3 x+5}>4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de quociente
\frac{2x+1}{3x+5}>4.
O conteúdo envolvido é inequação racional: vamos primeiro reunir tudo num único quociente, depois determinar onde numerador e denominador mudam de sinal e, por fim, montar o quadro de sinais.

Passo 2

Subtraímos 4 de ambos os lados para obter um único quociente comparado a zero:
\frac{2x+1}{3x+5}-4>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x+1-4(3x+5)}{3x+5}>0.
No numerador fazemos a expansão
2x+1-12x-20=-10x-19,
logo a inequação vira
\frac{-10x-19}{3x+5}>0.

Passo 3

Identificamos os pontos que anulam numerador e denominador, pois são as fronteiras onde o sinal pode mudar:
-10x-19=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{19}{10},
3x+5=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{3}.
Esses valores não fazem parte da solução final (numerador zero dá quociente zero; denominador zero é proibido).

Passo 4

Analisamos o sinal de
N(x)=-10x-19 \quad\text{e}\quad D(x)=3x+5
em cada intervalo determinado por -\infty, -\tfrac{19}{10}, -\tfrac{5}{3}, +\infty.
  1. Para x<-\tfrac{19}{10}:
    N(x)>0 (por exemplo em x=-2) e D(x)<0 (em x=-2), então \tfrac{N}{D}<0.
  2. Para -\tfrac{19}{10}<x<-\tfrac{5}{3}:
    N(x)<0 (por x=-1{,}8) e D(x)<0 (por x=-1{,}8), então \tfrac{N}{D}>0.
  3. Para x>-\tfrac{5}{3}:
    N(x)<0 (por x=0) e D(x)>0 (por x=0), então \tfrac{N}{D}<0.

Passo 5

Como queremos \tfrac{-10x-19}{3x+5}>0, a única região onde o quociente é positivo é
-\frac{19}{10}<x<-\frac{5}{3}.

Resposta

\left(-\frac{19}{10},-\frac{5}{3}\right).

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