Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
2 x^{2}+x \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a inequação
2x^{2} + x \leqslant 1
em \mathbb{R} e representemos o conjunto solução na reta real. O conteúdo é inequação de segundo grau, e para resolver vamos colocar em forma padrão, determinar as raízes da função quadrática e fazer a análise de sinal da parábola.

Passo 2

Subtraímos 1 de ambos os lados para obter a forma padrão
2x^{2} + x - 1 \leqslant 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação 2x^{2} + x - 1 = 0:
\Delta = b^{2} - 4ac = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
As raízes são
x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1,
x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, e a inequação 2x^{2}+x-1\le0 é satisfeita para os valores de x entre as raízes, inclusive. Logo, o conjunto solução é
x \in \bigl[-1,\tfrac12\bigr].

Resposta

[-1,\tfrac12]
Na reta real, corresponde ao segmento de -1 a 1/2 com extremidades incluídas.

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