Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
x^{3}-x^{2} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{3}-x^{2}\leq0
Isso envolve fatorar o polinômio, identificar raízes e estudar o sinal em cada intervalo para determinar onde ele é não-positivo.

Passo 2

Fatoramos o polinômio em evidenciando x^{2}:
x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).

Passo 3

As raízes da expressão estão em x=0 (multiplicidade 2) e em x=1. Dividimos a reta real nos intervalos
(-\infty,0),\quad(0,1),\quad(1,\infty)
e também consideramos os pontos x=0 e x=1 para ver onde a expressão é igual a zero.

Passo 4

Em cada parte:
  • Para x<0: temos x^{2}>0 e x-1<0, logo x^{2}(x-1)<0.
  • Para 0<x<1: temos x^{2}>0 e x-1<0, logo x^{2}(x-1)<0.
  • Para x>1: temos x^{2}>0 e x-1>0, logo x^{2}(x-1)>0.
    Em x=0 e em x=1 o produto vale zero.
Assim, x^{2}(x-1)\le0 para todo x em que a expressão seja negativa ou zero, i.e., para
x\in(-\infty,1].

Resposta

(-\infty,1]

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