Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os valores de x que satisfazem a inequação quadrática 4x² + 2 < 9x. O conteúdo é inequação do segundo grau, e vamos precisar levar tudo para um lado, achar as raízes do polinômio resultante e depois analisar o sinal da parábola.
Passo 2
Primeiro, subtraímos 9x de ambos os lados para colocar a inequação na forma padrão:
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante da função quadrática f(x)=4x²–9x+2. A fórmula do discriminante é Δ = b² – 4ac, onde a=4, b=–9, c=2:
$$\Delta = (-9)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49
$$
Passo 4
Como Δ=49>0, há duas raízes reais. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Isso gera as raízes
Passo 6
Sabendo que a>0 (parábola voltada para cima), f(x)<0 ocorre entre as raízes. Logo, a solução é o intervalo aberto entre 1/4 e 2.
Resposta
(\tfrac{1}{4},,2)