Calcule f^prime(x, y, z), sendo:
b) f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2;

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada total (gradiente) da função f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2. Vamos usar conceitos de derivada de função composta e derivadas parciais.

Passo 2

Definimos u=x^2+y^2+z^2 de modo que f(u)=u^1/2. Para obter as derivadas parciais, aplicamos a regra da cadeia: partial fpartial x=f'(u)cdotpartial upartial x e de forma análoga para y e z.

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas intermediárias. Temos
f'(u)=12raizuepartial upartial x=2x

Passo 4

Logo,
partial fpartial x=12raizucdot2x=xraizx^2+y^2+z^2

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio,
partial fpartial y=yraizx^2+y^2+z^2,partial fpartial z=zraizx^2+y^2+z^2

Passo 6

Finalmente, agrupamos essas derivadas no vetor gradiente.

Resposta

nabla f(x,y,z)= xraizx^2+y^2+z^2[6pt] yraizx^2+y^2+z^2[6pt] zraizx^2+y^2+z^2

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