Resolva a inequação.
2 x^2+7 x>15

Passo 1

A questão pede resolver a inequação quadrática 2x^2+7x>15. O conteúdo aqui envolve inequações do segundo grau, e vamos precisar: colocar tudo numa forma padrão ax^2+bx+c>0, fatorar o polinômio e estudar o sinal do produto resultante.

Passo 2

Subtraindo 15 de ambos os lados da inequação 2x^2+7x>15, obtemos
2x^2+7x-15>0
Isso nos coloca na forma padrão ax^2+bx+c>0 com a=2, b=7 e c=-15.

Passo 3

Para fatorar o polinômio 2x^2+7x-15, buscamos dois números cuja soma seja b=7 e cujo produto seja acdot c=2times(-15)=-30.
Os números são +10 e -3, pois 10+(-3)=7 e 10times(-3)=-30.
Logo, reescrevendo em duas parcelas e fatorando por agrupamento, temos:
2x^2+7x-15 = 2x^2+10x-3x-15 = 2x(x+5)-3(x+5) = (2x-3)(x+5)

Passo 4

As raízes (zeros) do polinômio são obtidas fazendo cada fator igual a zero:
2x-3=0 leva a x=32
e
x+5=0 leva a x=-5.
Para saber onde (2x-3)(x+5)>0, analisamos os intervalos definidos por essas raízes:
  • Se x<-5, então 2x-3<0 e x+5<0, produto positivo.
  • Se -5, um fator é positivo e o outro negativo, produto negativo.
  • Se x>tfrac32, ambos os fatores são positivos, produto positivo.

Passo 5

Como queremos (2x-3)(x+5)>0, a solução é a união dos intervalos em que o produto é positivo. Portanto:
x<-5 ou x>tfrac32.

Resposta

x<-5 ou x>\frac{3}{2}

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