Resolva a inequação 2 x^2(2 x-1)(x+1) <= 2 x2 x-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional 2x^2(2x-1)(x+1) <= 2x2x-1. O conteúdo aqui é inequação de função racional: vamos precisar determinar o domínio, passar tudo para um único membro com denominador comum e depois fazer a análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Como aparecem os denominadores 2x-1 e x+1, devemos ter
2x-1 neq 0 implies x neq tfrac12, x+1 neq 0 implies x neq -1

Passo 3

Em seguida, colocamos tudo em um só lado da inequação e usamos denominador comum:
2x^2(2x-1)(x+1) - 2x2x-1 <= 0

Passo 4

Vamos juntar em um único quociente sobre (2x-1)(x+1):
2x^2 - 2x(x+1)(2x-1)(x+1) <= 0
No numerador aparece 2x^2 - 2x(x+1)=2x^2-2x^2-2x=-2x. Então a inequação vira
-2x(2x-1)(x+1) <= 0

Passo 5

Para facilitar a análise de sinal, multiplicamos ambos os lados por -1, o que inverte a desigualdade, e tiramos o fator 2>0:
x(2x-1)(x+1) >= 0

Passo 6

Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador: numerador zero em x=0; denominador zero em x=tfrac12 e x=-1. Estes pontos particionam a reta em quatro intervalos.

Passo 7

Bastam testar um valor de x em cada intervalo:
  • Para x<-1: o quociente sai negativo.
  • Para -1: sai positivo.
  • Para 0: sai negativo.
  • Para x>tfrac12: sai positivo.
    Em x=0 a expressão vale zero, e em x=-1,tfrac12 não está definida.

Resposta

xin(-1,0]cup(tfrac12,infty)

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