Resolva a inequação (x-2)(x+3)>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x-2)(x+3) > 0. Aqui estamos lidando com uma inequação do segundo grau, onde precisamos descobrir para quais valores de $ x $ o produto dos dois fatores é positivo. Para resolver isso, vamos identificar os pontos onde cada fator se anula e, então, analisar os intervalos formados por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem cada fator ser igual a zero:
x
x - 2 = 0 implies x = 2
Esses valores, $ x = 2 $ e $ x = -3 $, são chamados de raízes ou pontos críticos da inequação.

Passo 3

Agora, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos usando esses pontos críticos:
  1. $ x < -3 $
  2. $ -3 < x < 2 $
  3. $ x > 2 $
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal do produto $ (x-2)(x+3) $.

Passo 4

Vamos analisar o sinal em cada intervalo:
  1. Para $ x < -3 $:
    • $ x - 2 $ será negativo porque qualquer número menor que -3 menos 2 ainda é negativo.
    • $ x + 3 $ também será negativo porque, por exemplo, se $ x = -4 $, então $ -4 + 3 = -1 $.
    • O produto de dois negativos é positivo. Então, $ (x-2)(x+3) > 0 $ nesse intervalo.
  2. Para $ -3 < x < 2 $:
    • $ x - 2 $ será negativo (já que estamos abaixo de 2).
    • $ x + 3 $ será positivo (por exemplo, se $ x = 0 $, então $ 0 + 3 = 3 $).
    • O produto de negativo e positivo é negativo. Então, $ (x-2)(x+3) < 0 $ nesse intervalo.
  3. Para $ x > 2 $:
    • $ x - 2 $ será positivo.
    • $ x + 3 $ também será positivo (por exemplo, se $ x = 3 $, então $ 3 + 3 = 6 $).
    • O produto de dois positivos é positivo. Então, $ (x-2)(x+3) > 0 $ nesse intervalo.

Passo 5

Com base na análise dos sinais, a inequação $ (x-2)(x+3) > 0 $ é verdadeira quando o produto é positivo, ou seja, nos intervalos onde:
  • $ x < -3 $
  • $ x > 2 $

Resposta

A solução da inequação é:
x in (-infty, -3) cup (2, infty)

Exercícios relacionados