Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto (0,0)
f(x, y)= x^2 y^32 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^2y^32x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua no ponto (0,0). O conteúdo aqui é limite e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar o teorema do confronto (sandwich) para mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
que coincide com o valor de f(0,0).

Passo 2

Para aplicar o teorema do confronto, analisamos o valor absoluto
|f(x,y)|=|x^2y^32x^2+y^2|
e tentamos estimar essa expressão em função de r=raizx^2+y^2. Note que 2x^2+y^2>0 sempre que (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Repare que
|y|<=raiz2x^2+y^2,
pois y^2<=2x^2+y^2. Elevando ambos os lados ao cubo,
|y|^3<=(2x^2+y^2)^3/2
Logo,
|f(x,y)|=x^2|y|^32x^2+y^2 <=x^2(2x^2+y^2)^3/22x^2+y^2 =(2x^2+y^2)^1/2cdot x^2
E como x^2<=2x^2+y^2, segue
|f(x,y)|<=(2x^2+y^2)^3/2
Como (x,y)to(0,0) implica 2x^2+y^2to0, então
|f(x,y)|<=(2x^2+y^2)^3/2to0

Passo 4

Pelo teorema do confronto, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Portanto, a função é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0), pois o limite é igual a 0, que coincide com o valor de f(0,0).

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