Resolva a inequação x^2 x^2-9 x+4<1 em R+.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R+ a inequação
x^2x^2-9x+4<1
O conteúdo principal é o estudo de potências com base positiva: para x>0, o sinal da diferença x^E-1 depende de duas coisas: se a base x está em (0,1), igual a 1 ou maior que 1, e se o expoente
E = 2x^2-9x+4
é positivo, zero ou negativo.

Passo 2

Para x>0 valem as seguintes regras:
  1. Se 0<x<1 e E>0, então x^E<1.
  2. Se 0<x<1 e E<0, então x^E>1.
  3. Se x>1 e E>0, então x^E>1.
  4. Se x>1 e E<0, então x^E<1.
  5. Se E=0, então x^E=1 (não satisfaz a desigualdade estrita).
  6. Se x=1, então 1^E=1 (não satisfaz a desigualdade estrita).
Logo, a solução será a união de dois conjuntos:
,0<x<1mid E>0cup,x>1mid E<0

Passo 3

Vamos estudar o sinal de
E = 2x^2-9x+4
O discriminante é
De<a = (-9)^2-4cdot2cdot4 = 81-32 = 49,
portanto as raízes são
x = 9pm74;Longrightarrow;x=tfrac12ou x=4
Como o coeficiente de x^2 é positivo, E>0 em
xin(0,tfrac12)cup(4,infty),
e E<0 em
xin(tfrac12,4)

Passo 4

Agora intersectamos com os casos da base:
  • Para 0<x<1 queremos E>0. Então
    xin(0,1);cap;l((0,tfrac12)cup(4,infty)r) = (0,tfrac12)
    Note que x=tfrac12 E=0, produz igualdade 1, então fica excluído.
  • Para x>1 queremos E<0. Então
    xin(1,infty);cap;(tfrac12,4) = (1,4)
    Note que x=4 E=0, produz igualdade 1, então fica excluído; e x=1 também é excluído porque 1^E=1.

Passo 5

Juntando as duas partes, a solução em R+ é
(0,tfrac12);cup;(1,4)

Resposta

(0,tfrac12)cup(1,4)

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