Considere Gamma, a fronteira do quadrado com vértices nos pontos (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) em R^2, orientada positivamente (i.e. no sentido anti-horário).
a) Calcule a integral de linha ointGamma x^2 d x+x y d y.
b) Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha anterior em uma integral dupla sobre D (região interna do quadrado).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de integrais de linha e do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em uma região. No item a), precisamos calcular a integral de linha ointGamma x^2 dx + x y dy, onde Gamma é a fronteira de um quadrado no plano. Para isso, vamos seguir passo a passo a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória Gamma. Ela é a fronteira de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrida no sentido anti-horário. Isso significa que vamos percorrer as quatro arestas do quadrado de forma ordenada.

Passo 3

Vamos dividir a integral de linha em quatro partes, correspondentes às quatro arestas do quadrado:
  1. De (0,0) a (1,0)
  2. De (1,0) a (1,1)
  3. De (1,1) a (0,1)
  4. De (0,1) a (0,0)
Para cada segmento, vamos parametrizar as coordenadas x e y em função de um parâmetro t, calcular dx e dy, e depois substituir na integral.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
1. De (0,0) a (1,0):
  • Aqui, y = 0 e x varia de 0 a 1. Podemos parametrizar como x = t, onde t vai de 0 a 1.
  • Então, dx = dt e dy = 0.
  • Substituindo na integral: integral0^1 t^2 dt + t cdot 0 cdot 0 = integral0^1 t^2 dt = 13.
2. De (1,0) a (1,1):
  • Aqui, x = 1 e y varia de 0 a 1. Parametrizamos como y = t, t in [0,1].
  • Então, dx = 0 e dy = dt.
  • Substituindo: integral0^1 1^2 cdot 0 + 1 cdot t cdot dt = integral0^1 t dt = 12.
3. De (1,1) a (0,1):
  • Aqui, y = 1 e x varia de 1 a 0. Podemos parametrizar como x = 1 - t, t in [0,1].
  • Então, dx = -dt e dy = 0.
  • Substituindo: integral0^1 (1 - t)^2 (-dt) + (1 - t) cdot 1 cdot 0 = -integral0^1 (1 - 2t + t^2) dt = -[ t - t^2 + t^33 ]0^1 = -(1 - 1 + 13) = -13.
4. De (0,1) a (0,0):
  • Aqui, x = 0 e y varia de 1 a 0. Parametrizamos como y = 1 - t, t in [0,1].
  • Então, dx = 0 e dy = -dt.
  • Substituindo: integral0^1 0^2 cdot 0 + 0 cdot (1 - t) cdot (-dt) = 0.

Passo 5

Agora, somamos todas as partes:
13 + 12 - 13 + 0 = 12

Resposta

A integral de linha ointGamma x^2 dx + x y dy vale 12.

Exercícios relacionados