Considere
, a fronteira do quadrado com vértices nos pontos
e
em
, orientada positivamente (i.e. no sentido anti-horário).
a) Calcule a integral de linha
.
b) Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha anterior em uma integral dupla sobre
(região interna do quadrado).
a) Calcule a integral de linha
b) Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha anterior em uma integral dupla sobre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de integrais de linha e do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em uma região. No item a), precisamos calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de um quadrado no plano. Para isso, vamos seguir passo a passo a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória
. Ela é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
, percorrida no sentido anti-horário. Isso significa que vamos percorrer as quatro arestas do quadrado de forma ordenada.
Passo 3
Vamos dividir a integral de linha em quatro partes, correspondentes às quatro arestas do quadrado:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Para cada segmento, vamos parametrizar as coordenadas
e
em função de um parâmetro
, calcular
e
, e depois substituir na integral.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
1. De
a
:
- Aqui,
e varia de 0 a 1. Podemos parametrizar como , onde vai de 0 a 1. - Então,
e . - Substituindo na integral:
.
2. De
a
:
- Aqui,
e varia de 0 a 1. Parametrizamos como , . - Então,
e . - Substituindo:
.
3. De
a
:
- Aqui,
e varia de 1 a 0. Podemos parametrizar como , . - Então,
e . - Substituindo:
.
4. De
a
:
- Aqui,
e varia de 1 a 0. Parametrizamos como , . - Então,
e . - Substituindo:
.
Passo 5
Agora, somamos todas as partes:
Resposta
A integral de linha
vale
.