Resolva as inequações:
1x^3-2 x^2-x+2 <= 1x^3-3 x^2-4 x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo funções racionais, usando os conceitos de colocar tudo em um lado, achar o sinal de numerador e denominador e montar diagrama de sinais.

Passo 2

Vamos subtrair os dois lados para ter zero de um lado. Obtemos
1x^3-2x^2 -x+2 - 1x^3 -3x^2 -4x+12 <= 0
Colocando no mesmo denominador:
(x^3 -3x^2 -4x+12) - (x^3-2x^2 -x+2)(x^3-2x^2 -x+2)(x^3 -3x^2 -4x+12) <= 0
ou seja NA,B<=0.

Passo 3

Agora fatoramos cada parte:
A = x^3-2x^2 -x+2 = (x-2)(x+1)(x-1),
B = x^3-3x^2 -4x+12 = (x-3)(x-2)(x+2),
N = (x^3 -3x^2 -4x+12) - (x^3-2x^2 -x+2) = -x^2 -3x+10 = -(x+5)(x-2)

Passo 4

Os pontos críticos (zeros de N, zeros de A e zeros de B) são
x=-5,-2,-1,1,2,3. O domínio exclui zeros de A ou B: xneq -2,-1,1,2,3.

Passo 5

Montamos o diagrama de sinais em cada intervalo testando o sinal de N/(A,B). Chegamos a que a fração é não-positiva (negativa ou zero) em
(-15], (-2,-1), (1,2) e (3,infty), lembrando que em x=-5 dá zero (valido) e em x=2 é indefinido (excluimos).

Resposta

(-\u221E,-5] \cup (-2,-1) \cup (1,2) \cup (3,\u221E)

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