Resolva as INTEGRAIS INDEFINIDAS abaixo:
integral cos (x) e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral cos(x) e^2x , dx. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente Integração por Partes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é perfeita para integrar produtos de funções como é o caso aqui (uma função trigonométrica cos(x) e uma função exponencial e^2x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u para ser a função que se simplifica ao derivar e dv para ser a parte que podemos integrar facilmente.
Vamos escolher:
u = cos(x) e dv = e^2x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
Derivando u:
du = -sin(x) , dx
Integrando dv:
v = integral e^2x , dx = e^2x2

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral cos(x) e^2x , dx = uv - integral v , du = cos(x) cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot (-sin(x)) , dx
= e^2x cos(x)2 + 12 integral e^2x sin(x) , dx
Agora, temos uma nova integral integral e^2x sin(x) , dx para resolver. Vamos aplicar integração por partes novamente.

Passo 5

Dessa vez, escolhemos:
u = sin(x) e dv = e^2x , dx
Calculando du e v:
du = cos(x) , dx
v = integral e^2x , dx = e^2x2

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes na nova integral:
integral e^2x sin(x) , dx = uv - integral v , du = sin(x) cdot e^2x2 - integral e^2x2 cos(x) , dx
= e^2x sin(x)2 - 12 integral e^2x cos(x) , dx
Observe que a integral integral e^2x cos(x) , dx é a que começamos a resolver inicialmente. Vamos chamar essa integral de I:
I = integral e^2x cos(x) , dx
Então, substituindo de volta:
I = e^2x cos(x)2 + 12 ( e^2x sin(x)2 - 12 I )
I = e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4 - I4

Passo 7

Agora, vamos resolver para I. Primeiro, somamos I4 de ambos os lados:
I + I4 = e^2x cos(x)2 + e^2x sin(x)4
5I4 = e^2x (2cos(x) + sin(x))4
Multiplicando ambos os lados por 45:
I = 45 cdot e^2x (2cos(x) + sin(x))4 = e^2x (2cos(x) + sin(x))5

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos(x) e^2x , dx = e^2x (2 cos(x) + sin(x))5 + C
onde C é a constante de integração.

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