Resolva as INTEGRAIS INDEFINIDAS abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente Integração por Partes. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é perfeita para integrar produtos de funções como é o caso aqui (uma função trigonométrica
e uma função exponencial
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
para ser a função que se simplifica ao derivar e
para ser a parte que podemos integrar facilmente.
Vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
para resolver. Vamos aplicar integração por partes novamente.
Passo 5
Dessa vez, escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes na nova integral:
Observe que a integral
é a que começamos a resolver inicialmente. Vamos chamar essa integral de
:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, somamos
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.