Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^2-4|-2|x-1|

Passo 1

O enunciado pede pra eliminar os módulos da expressão lvert x^2-4rvert -2lvert x-1rvert. O conteúdo aqui é estudo de sinais aplicado a funções modulares. Vamos precisar encontrar onde x^2-4=0 e x-1=0 pra dividir o domínio em intervalos onde cada parte dentro do módulo mantém sinal.

Passo 2

As raízes são x^2-4=0 em x=-2,2 e x-1=0 em x=1. Assim temos os intervalos: e -∞,-2),[-2,1),[1,2),[2,∞) Precisamos montar um quadro de sinais para (x^2-4 nesses pedaços.

Passo 3

Agora em cada intervalo aplicamos |A|=A se A>=0 e |A|=-A se A<0:
  • Para x< -2: x^2-4>0 e x-1<0, então
lvert x^2-4rvert-2lvert x-1rvert=(x^2-4)-2l(-(x-1)r)=x^2+2x-6
  • Para -2<= x<1: x^2-4<=0 e x-1<0, então
lvert x^2-4rvert-2lvert x-1rvert=-(x^2-4)-2l(-(x-1)r)=-x^2+2x+2
  • Para 1<= x<2: x^2-4<=0 e x-1>=0, então
lvert x^2-4rvert-2lvert x-1rvert=-(x^2-4)-2(x-1)=-x^2-2x+6
  • Para x>=2: x^2-4>=0 e x-1>=0, então
lvert x^2-4rvert-2lvert x-1rvert=(x^2-4)-2(x-1)=x^2-2x-2

Passo 4

Juntando tudo, a expressão sem módulos fica definida por partes de acordo com x:

Resposta

lvert x^2-4rvert-2lvert x-1rvert= x^2+2x-6,&x< -2, -x^2+2x+2,&-2<= x<1, -x^2-2x+6,&1<= x<2, x^2-2x-2,&x>=2

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