Resolva as inequações abaixo. U=Q.
\frac{2}{3}\left(3-\frac{x}{2}\right)-\frac{4}{5}\left(\frac{3 x}{2}-\frac{3}{4}\right)<\frac{10}{3}\left(\frac{2 x-3}{20}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação, no universo U=\mathbb{Q}:
\frac{2}{3}\left(3-\frac{x}{2}\right)-\frac{4}{5}\left(\frac{3 x}{2}-\frac{3}{4}\right)<\frac{10}{3}\left(\frac{2 x-3}{20}\right).
Informações dadas:
\;U=\mathbb{Q} (procuramos soluções racionais),
a expressão inteira da inequação está definida para todos os x (não há divisão por zero dependendo de x),
e devemos encontrar todos os x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos aplicar a propriedade distributiva \,a(b+c)=ab+ac\, para eliminar parênteses no primeiro membro.
Calcule termo a termo:
\frac{2}{3}\left(3-\frac{x}{2}\right)=\frac{2}{3}\cdot3-\frac{2}{3}\cdot\frac{x}{2}.
Agora compute cada produto:
\frac{2}{3}\cdot3=2,\qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{x}{2}=\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}.
Logo,
\frac{2}{3}\left(3-\frac{x}{2}\right)=2-\frac{x}{3}.

Passo 3

Agora distribua no segundo termo do primeiro membro:
\frac{4}{5}\left(\frac{3x}{2}-\frac{3}{4}\right)=\frac{4}{5}\cdot\frac{3x}{2}-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}.
Calcule cada produto:
\frac{4}{5}\cdot\frac{3x}{2}=\frac{12x}{10}=\frac{6x}{5},\qquad \frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.
Como na inequação esse termo aparece com sinal negativo, temos
-\frac{4}{5}\left(\frac{3x}{2}-\frac{3}{4}\right)=-\frac{6x}{5}+\frac{3}{5}.

Passo 4

Some os resultados parciais do primeiro membro:
2-\frac{x}{3}-\frac{6x}{5}+\frac{3}{5}.
Junte as constantes 2 e \frac{3}{5}:
2+\frac{3}{5}=\frac{10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{13}{5}.
Portanto o primeiro membro fica
\frac{13}{5}-\frac{x}{3}-\frac{6x}{5}.

Passo 5

Simplifique o segundo membro:
\frac{10}{3}\left(\frac{2x-3}{20}\right)=\frac{10(2x-3)}{60}=\frac{2x-3}{6}.
Assim a inequação reduz-se a
\frac{13}{5}-\frac{x}{3}-\frac{6x}{5}<\frac{2x-3}{6}.

Passo 6

Para eliminar frações, multiplique ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores 5,3,5,6, que é 30. Como 30>0, o sentido da desigualdade não muda. Multiplicando:
30\left(\frac{13}{5}-\frac{x}{3}-\frac{6x}{5}\right)<30\cdot\frac{2x-3}{6}.
Calcule cada termo:
30\cdot\frac{13}{5}=13\cdot6=78,\qquad 30\cdot\left(-\frac{x}{3}\right)=-10x,\qquad 30\cdot\left(-\frac{6x}{5}\right)=-36x,
30\cdot\frac{2x-3}{6}=5(2x-3)=10x-15.
Logo obtém-se a inequação sem frações
78-10x-36x<10x-15.
Simplifique os termos em x:
78-46x<10x-15.

Passo 7

Agora isole os termos com x. Subtraia 10x de ambos os lados:
78-56x<-15.
Subtraia 78 de ambos os lados:
-56x<-93.
Divida ambos os lados por -56. Como estamos dividindo por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte:
x>\frac{93}{56}.
Esta é a forma final da solução em termos de desigualdade.

Resposta

\{x\in\mathbb{Q}\mid x>\tfrac{93}{56}\}

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