Resolva as inequações abaixo. U=Q.
2(x-1)-3(3-4 x) \geq-(2 x-3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2(x-1)-3(3-4x)\ge -(2x-3)
e informa que U=\mathbb{Q} (ou seja, a solução deve ser apresentada no conjunto dos racionais).
Informações relevantes:
  • Temos uma inequação linear envolvendo x.
  • Devemos manipular expressões algébricas (distribuir, somar termos semelhantes, isolar x) obedecendo às regras das inequações.
  • A resposta final deve indicar todos os x\in\mathbb{Q} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro aplicamos a propriedade distributiva em 2(x-1). A propriedade distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Aqui a=2, b=x e c=-1, portanto:
2(x-1)=2x-2.

Passo 3

Agora aplicamos a distributiva em -3(3-4x). Atenção ao sinal: multiplicamos -3 por cada termo dentro dos parênteses:
-3(3-4x)=-3\cdot 3 + (-3)\cdot(-4x) = -9 + 12x.
Repare que (-3)\cdot(-4x)=+12x porque produto de dois sinais iguais dá sinal positivo.

Passo 4

Somando os resultados do Passo 2 e Passo 3 obtemos a expressão do lado esquerdo:
2(x-1)-3(3-4x) = (2x-2)+(-9+12x).
Agora combinamos termos semelhantes: 2x+12x=14x e -2-9=-11. Logo
2(x-1)-3(3-4x)=14x-11.

Passo 5

Expandimos o lado direito -(2x-3). Distribuímos o sinal negativo:
-(2x-3) = -2x+3.

Passo 6

Substituindo as expressões simplificadas na inequação original, ficamos com
14x-11 \ge -2x+3.

Passo 7

Queremos isolar x. Primeiro somamos 2x aos dois lados para agrupar as parcelas com x no mesmo membro. Soma a mesma quantidade em ambos os lados não altera a desigualdade:
14x-11 + 2x \ge -2x+3 + 2x \quad\Longrightarrow\quad 16x-11 \ge 3.

Passo 8

Agora somamos 11 aos dois lados para isolar o termo com x:
16x-11 + 11 \ge 3 + 11 \quad\Longrightarrow\quad 16x \ge 14.

Passo 9

Dividimos ambos os lados por 16 para obter x. Regra importante: ao dividir ou multiplicar ambos os lados de uma inequação por um número positivo, o sentido da desigualdade não se altera; ao dividir por um número negativo o sentido inverte — aqui dividimos por 16>0, então o sentido permanece:
x \ge \frac{14}{16}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2, obtemos
x \ge \frac{7}{8}.

Passo 10

Interpretação final considerando U=\mathbb{Q}: a solução consiste em todos os números racionais maiores ou iguais a \tfrac{7}{8}. Podemos verificar rapidamente com exemplos: se x=1 (que é \ge\tfrac{7}{8}) a desigualdade fica verdadeira; se x=\tfrac{1}{2} (menor que \tfrac{7}{8}) a desigualdade fica falsa — isso confirma o intervalo obtido.

Resposta

\{x\in\mathbb{Q}\mid x\ge\tfrac{7}{8}\}

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