Resolva as inequações abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e informa que
(ou seja, a solução deve ser apresentada no conjunto dos racionais).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Temos uma inequação linear envolvendo
. - Devemos manipular expressões algébricas (distribuir, somar termos semelhantes, isolar
) obedecendo às regras das inequações. - A resposta final deve indicar todos os
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro aplicamos a propriedade distributiva em
. A propriedade distributiva diz que
. Aqui
,
e
, portanto:
Passo 3
Agora aplicamos a distributiva em
. Atenção ao sinal: multiplicamos
por cada termo dentro dos parênteses:
Repare que
porque produto de dois sinais iguais dá sinal positivo.
Passo 4
Somando os resultados do Passo 2 e Passo 3 obtemos a expressão do lado esquerdo:
Agora combinamos termos semelhantes:
e
. Logo
Passo 5
Expandimos o lado direito
. Distribuímos o sinal negativo:
Passo 6
Substituindo as expressões simplificadas na inequação original, ficamos com
Passo 7
Queremos isolar
. Primeiro somamos
aos dois lados para agrupar as parcelas com
no mesmo membro. Soma a mesma quantidade em ambos os lados não altera a desigualdade:
Passo 8
Agora somamos
aos dois lados para isolar o termo com
:
Passo 9
Dividimos ambos os lados por
para obter
. Regra importante: ao dividir ou multiplicar ambos os lados de uma inequação por um número positivo, o sentido da desigualdade não se altera; ao dividir por um número negativo o sentido inverte — aqui dividimos por
, então o sentido permanece:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
, obtemos
Passo 10
Interpretação final considerando
: a solução consiste em todos os números racionais maiores ou iguais a
. Podemos verificar rapidamente com exemplos: se
(que é
) a desigualdade fica verdadeira; se
(menor que
) a desigualdade fica falsa — isso confirma o intervalo obtido.