Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{(-2 x+3)(-x+3)}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{(-2x+3)(-x+3)}
ou seja, todos os x tais que o radicando seja bem-definido. O conteúdo principal aqui é resolução de inequação de primeiro grau para garantir
(-2x+3)(-x+3)\ge 0.

Passo 2

Como temos uma raiz quadrada, exigimos
(-2x+3)(-x+3)\ge 0.
Isso garante que o produto dentro da raiz não seja negativo.

Passo 3

Para resolver a inequação, primeiro achamos as raízes dos fatores:
-2x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac32,
-x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=3.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de (-2x+3) e de (-x+3) em cada intervalo determinado por \frac32 e 3:
  • Para x<\tfrac32: temos -2x+3>0 e -x+3>0, logo o produto é positivo.
  • Para \tfrac32<x<3: temos -2x+3<0 e -x+3>0, logo o produto é negativo.
  • Para x>3: temos -2x+3<0 e -x+3<0, logo o produto é positivo.
Em x=\tfrac32 ou x=3 o produto vale zero, o que é permitido.

Passo 5

Portanto, os x que satisfazem (-2x+3)(-x+3)\ge 0 estão em
(-\infty,\tfrac32]\;\cup\;[3,\infty).

Resposta

O domínio de f é (-\infty,\tfrac32]\cup[3,\infty).

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