Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado dá a inequação
. - Queremos encontrar todos os valores de
(números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Observação útil: ambas as quantidades envolvidas são potências de
. Vou reescrever
como potência de
.
porque
.
Assim a inequação fica
Passo 3
Propriedade importante (explicação didática): a função
com base
satisfaz
- se
, então implica (a função é crescente); - se
, então implica (a função é decrescente).
Aqui a base é
, que está entre
e
. Portanto a função
é decrescente: comparar potências com a mesma base
inverte a desigualdade entre os expoentes.
Aplicando isso à nossa desigualdade, obtemos a desigualdade entre expoentes com sentido invertido:
(Ducha rápida de intuição: ao aumentar o expoente de uma potência de base menor que 1 o valor da potência diminui, por isso
.)
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade linear
.
Primeiro somo
aos dois lados:
Em seguida dividimos por
(dividir por número positivo não inverte a desigualdade):
Passo 5
(Verificação alternativa usando logaritmo, para fixar a ideia.) Poderíamos também tomar logaritmo natural em ambos os lados desde que lembremos que
; ao dividir pela constante negativa o sentido da desigualdade inverte. Fazendo isso:
Como
, ao dividir ambos os lados por
o sinal da desigualdade troca, resultando em
, que leva novamente a
. Mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.
Passo 6
Interpretação final e forma de resposta útil para prova:
- A solução em forma de desigualdade é
. - Em notação de intervalo, a solução é
.