Resolva as inequações abaixo:
\left(\frac{1}{2}\right)^{2 x-1}<\frac{1}{16}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado dá a inequação \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x-1}<\tfrac{1}{16}.
  • Queremos encontrar todos os valores de x (números reais) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Observação útil: ambas as quantidades envolvidas são potências de \tfrac{1}{2}. Vou reescrever \tfrac{1}{16} como potência de \tfrac{1}{2}.
\tfrac{1}{16} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4},
porque \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{2^4}=\tfrac{1}{16}.
Assim a inequação fica
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x-1} < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}.

Passo 3

Propriedade importante (explicação didática): a função a^t com base a satisfaz
  • se a>1, então a^u<a^v implica u<v (a função é crescente);
  • se 0<a<1, então a^u<a^v implica u>v (a função é decrescente).
Aqui a base é a=\tfrac{1}{2}, que está entre 0 e 1. Portanto a função t\mapsto\left(\tfrac{1}{2}\right)^t é decrescente: comparar potências com a mesma base 0<a<1 inverte a desigualdade entre os expoentes.
Aplicando isso à nossa desigualdade, obtemos a desigualdade entre expoentes com sentido invertido:
2x-1 > 4.
(Ducha rápida de intuição: ao aumentar o expoente de uma potência de base menor que 1 o valor da potência diminui, por isso a^{\text{expoente maior}} < a^{\text{expoente menor}}.)

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade linear 2x-1>4.
Primeiro somo 1 aos dois lados:
2x-1+1 > 4+1 \quad\Rightarrow\quad 2x>5.
Em seguida dividimos por 2 (dividir por número positivo não inverte a desigualdade):
x>\tfrac{5}{2}.

Passo 5

(Verificação alternativa usando logaritmo, para fixar a ideia.) Poderíamos também tomar logaritmo natural em ambos os lados desde que lembremos que \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0; ao dividir pela constante negativa o sentido da desigualdade inverte. Fazendo isso:
\ln\!\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x-1}\right) < \ln\!\left(\tfrac{1}{16}\right)
(2x-1)\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) < 4\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0, ao dividir ambos os lados por \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) o sinal da desigualdade troca, resultando em 2x-1>4, que leva novamente a x>\tfrac{5}{2}. Mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Passo 6

Interpretação final e forma de resposta útil para prova:
  • A solução em forma de desigualdade é x>\tfrac{5}{2}.
  • Em notação de intervalo, a solução é \left(\tfrac{5}{2},+\infty\right).

Resposta

x>\tfrac{5}{2}
\left(\tfrac{5}{2},+\infty\right)

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